$\\$

`a,`

`K` đối xứng `I` qua `AC` và `M=IK∩AC` (gt)

`=>M` là trung điểm của `IK` và `IK\bot AC` tại `M`

Tứ giác `ANIM` có :

`hat{NAM}=90^o` (gt)

`hat{ANI}=90^o(IN\bot AB)`

`hat{AMI}=90^o(IK\bot AC)`

`<=> ANIM` là hình chữ nhật

`b,`

`AB\bot AC, IM\bot AC` (gt, cmt)

`=>` $AB//IM$

`\triangle ABC` có : `I` là trung điểm của `BC` (gt), $IM//AB$ (cmt, gt)

`=>M` là trung điểm của `AC`

Tứ giác `AICK` có :

`M` là trung điểm của `IK,AC` (cmt)

`<=>AICK` là hình bình hành mà `IK\bot AC` (cmt)

`<=>AICK` là hình thoi

`c,`

Gọi `O` là giao của `AI,MN (1)`

`ABIM` là hình chữ nhật (cmt)

`<=>O` là trung điểm của `AI,MN`

`AICK` là hình thoi (cmt)

`=> AK=CI` và $AK//CI$

`BI=CI,AK=CI` (cmt, gt)

`=>BI=AK`

Tứ giác `ABIK` có :

$BI//AK, BI=AK$ (cmt)

`<=>ABIK` là hình bình hành

Nên `BK` cắt `AI` tại trung điểm mỗi đường

Mà `O` là trung điểm của `AI` (cmt)

`=>O` là trung điểm của `BK`

`=>BK` đi qua `O(2)`

`(1)(2)=>AI,MN,BK` đồng quy

`d,`

`AKCB` là hình thang cân

`=>hat{ABC}=hat{BCK}`

`AICK` là hình thoi (cmt)

`=>CA` là tia phân giác `hat{BCK}`

`=>hat{ACB}=1/2 hat{BCK}=1/2 hat{ABC}`

`=>hat{ABC}=2hat{ACB}`

Vậy `\triangle ABC `cần `hat{ABC}=2hat{ACB}` để `AKCB` là hình thang cân