$\\$

`a,`

`CE` là đường trung tuyến (gt)

`->E` là trung điểm của `AB`

`BD` là đường trung tuyến (gt)

`-> D` là trung điểm của `AC`

`\triangle ABC` có : `E,D` là trung điểm của `AB,AC` (cmt)

`->DE` là đường trung bình

`->` $DE//BC$ và `DE=1/2 BC`

`\triangle BGC` có : `M,N` là trung điểm của `BG,CG` (gt)

`->MN` là đường trung bình

`->` $MN//BC$ và `MN=1/2 BC`

$MN//BC,DE//BC$ (cmt)

`->` $DE//MN$

`MN=1/2 BC, DE=1/2 BC` (cmt)

`->MN=DE`

Tứ giác `MNDE` có : $MN//DE, MN=DE$ (cmt)

`↔ MNDE` là hình bình hành

`b,`

`MNDE` là hình chữ nhật

`↔ EN=DM` và `G` là trung điểm của `EN,DM`

`EG=GN=1/2 EN, DG=MG=1/2 DM` (cmt) mà `EN=DM` (cmt)

`-> EG=GN=DG=MG`

`MG=1/2 BG, NG=1/2 CG` (gt) mà `MG=NG` (cmt)

`-> BG=CG`

`\triangle EGB` và `\triangle DGC` có :

`EG=DG` (cmt)

`BG=CG` (cmt)

`hat{EGB}=hat{DGC}` (Đối đỉnh)

`->\triangel EGB=\triangle DGC` (cạnh - góc - cạnh)

`->BE=CD` (2 cạnh tương ứng) mà `BE=1/2 AB, CD=1/2 AC` (gt)

`-> AB=AC`

`->\triangle ABC` cân tại `A`

Vậy `\triangle ABC` cân tại `A` để `MNDE` là hình chữ nhật

Gửi bạn:

$a,$ $M$ là trung điểm của $BG$

$N$ là trung điểm của $CG$

$⇒$ $MN$ là đường trung bình $ΔBGC$

$⇒$ $MN//BC,MN=\dfrac{1}{2}.BC$

$BD,CE$ là đường trung tuyến ứng với $AB,AC$

$⇒$ $D,E$ là trung điểm của $AC,AB$

$⇒$ $DE$ là đường trung bình $ΔABC$

$⇒$ $DE//BC,DE=\dfrac{1}{2}.BC$

$⇒$ $MN//DE,MN=DE=\dfrac{1}{2}.BC$

$⇒$ $MNDE$ là hình bình hành

$b,$ Nếu $MNDE$ là hình chữ nhật

$⇒$ $EN=MD$

Mà $G$ là giao điểm của $BD,CE$

$⇒$ $G$ là giao điểm của $EN,MD$

$⇒$ $EG=GD$

Lại có: $EG=\dfrac{1}{3}.EC$

$GD=\dfrac{1}{3}.BD$

$⇒$ $EC=BD$

$⇒$ $ΔABC$ cân tại $A$

Vậy nếu $ΔABC$ cân tại $A$ thì $MNDE$ là hình chữ nhật.