a/

Xét tứ giác `AMBF` có :

`E` là trung điểm của `AB` (gt)

`E` là trung điểm của `MF` ( `M` là điểm đối xứng với `F` qua `E` )

`=> AMBF` là hình bình hành (dhnb).

$\\$  

b/ 

Xét tứ giác `AHCN` có :

`F` là trung điểm của `AC` (gt)

`F` là trung điểm của `HN` ( `N` là điểm đối xứng với `H` qua `F` )

`=> AHCN` là hình bình hành (dhnb).

Mà `\hat{AHC} =90^o ( AH \bot BC) => AHCN` là hình chữ nhật. 

$\\$

c/                     
Vì 

`F,H` là đường trung bình của `\triangle ABC`

`=> FH = 1/2AB =AE` và $HF \parallel AE$

`=> EHFA` là hình bình hành (dhnb).

Mà `\hat{EAF} =90^o => EHFA` là hình chữ nhật. 

Xét `\triangle AHC` vuông cân tại `H` có : 

`HF` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `AC`

`=> HF= 1/2AC` 

`=> HF = EH ( =1/2AC)`

`=> EHFA` là hình vuông (dhnb).

`=> FE` là đường phân giác của `\hat{AFH} `

`=> \hat{AFM} = \hat{HFM}`  

Xét `\triangle AMF` và `\triangle HMF` có :

`AF = HF` ( `EHFA` là hình vuông  )

` \hat{AFM} = \hat{HFM}`  ( cmt)

`FM` _ cạnh chung

`=> \triangle AMF = \triangle HMF` ( c . g . c)

`=> AM = HM` ( `2` cạnh tương ứng )
Vì `AMBF` là hình bình hành (cmt) . Nên `MA =BF => HM = BF ( = AM) \quad (1)` 

`E,F` là trung điểm của `AB,AC => EF` là đường trung bình ứng với cạnh `BC` của `\triangle ABC`

Nên $EF \parallel BC \Rightarrow MF \parallel HB ( M \in EF ; H \in BC) \quad (2)$
Từ `(1) ; (2) => BMFH` là hình thang cân (đpcm).

`a)`

xét tứ giác `AMBF` có

`AE=EB (g t)`

`ME=EF (g t)`

`=>AMBF` là hình bình hành

`b)`

xét tứ giác `AHCN` có

`HF=FN (g t)`

`AF=FC (g t)`

`=>AHCN` là hình bình hành

mà `hat(AHC)=90^o`

`=>AHCN` là hình chữ nhật

`c)`

gọi `O` là giao điểm của `AH` và `EF`

ta có `AF=FH (AHCN` là hình chữ nhật `)`

do đó `ΔAFH` cân tại `F` 

xét `ΔABC` có

`AE=EB (g t)`

`AF=FC (g t)`

`=>EF` là đường trung bình của `ΔABC`

do đó $EF//BC$

mà     `AH⊥BC`

`=>AH⊥EF`

hay `FO⊥AH`

ta có `ΔAFH` cân tại `F`

mà `FO` là đường cao

do đó `FO` đồng thời là đường trung tuyến

hay `AO=OH` 

mà `MO⊥OH`

`=>ΔAMH` cân tại `M`

do đó `MA=MH`

mà `MA=BF (AMBF` là hình bình hành `)`

`=>MH=BF (1)`

ta có $EF//BC($ `EF` là đường trung bình của `ΔABC)`

mà `E∈MF;H∈BC`

`=>`$MF//BH(2)$

từ `(1);(2)` suy ra `BMFH` là hình thang cân