$\\$

`a,`

`D` đối xứng `H` qua `I` (gt) tức `I` là trung điểm của `DH`

Tứ giác `ADCH` có :

`I` là trung điểm của `AC,DH` (cmt, gt)

`<=>ADCH` là hình bình hành mà `hat{AHC}=90^o` (gt)

`<=>ADCH` là hình chữ nhật

`b,`

`ADCH` là hình chữ nhật (cmt)

`=> AD=CH` và $AD//CH$

`\triangle ABC` cân tại `A` có `AH` là đường cao (gt)

`=>AH` là đường trung tuyến hay `H` là trung điểm của `BC`

`=>BH=CH` mà `AD=CH` (cmt)

`=>AD=BH`

Tứ giác `ADHB` có :

$AD//BH,AD=BH$ (cmt)

`<=>ADHB` là hình bình hành 

`c,`

`AE=1/2 AB, AI=1/2 AC` (gt) mà `AB=AC` (gt)

`=>AE=AI`

`=>A` nằm trên đường trung trực của `EI(1)`

`\triangle AHC` vuông tại `H` có `HI` là đường trung tuyến (gt)

`=>HI=1/2 AC` 

`\triangle AHB` vuông tại `H` có `HE` là đường trung tuyến (gt)

`=>HE=1/2 AB` mà `HI=1/2 AC` (cmt). Mà `AB=AC` (gt)

`=>HE=HI`

`=>H` nằm trên đường trung trực của `EI(2)`

`(1)(2)=>AH` là đường trung trực của `EI`

`=>A` đối xứng `H` qua `EI`

`d,`

Gọi `M` là trung điểm của `CF`

Gọi `O=AH∩EI`

`\triangle BFC` có :

`M,H` là trung điểm của `FC,BC` (cmt, cách gọi)

`=>MH` là đường trung bình

`=>` $MH//B F$ hay $OF//MH$

`\triangle ABC` có : `E,H` là trung điểm của `AB,BC` (gt, cmt)

`=>EH` là đường trung bình

`=>` $EH//AC$ và `EH=1/2 AC`

`EH=1/2 AC, AI=1/2 AC` (gt, cmt)

`=>EH=AI`

Tứ giác `AIHE` có :

$HE//AI, HE=AI$ (cmt)

`<=>AIHE` là hình bình hành

Nên `AH` cắt `EI` tại trung điểm mỗi đường

Mà `O` là trung điểm của `EI` (Do `AH` là đường trung trực của `EI`)

`=>O` là trung điểm của `AH`

`\triangle AHM` có : $OF//HM$ và `O` là trung điểm của `AH` (cmt)

`=>F` là trung điểm của `AM`

`=> AF=FM` mà `FM=CM` (Cách kẻ)

`=> AF=FM=CM` mà `AF+FM+CM=AC`

`=>AF=1/3 AC`