Lời giải:

Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ta được:

$\quad BC^2= AB^2 +AC^2 $

$\Leftrightarrow BC^2 = 3^2 + 4^2$

$\Leftrightarrow BC =25$

$\Rightarrow BC = 5\ cm$

a) Xét tứ giác $AECD$ có:

$\begin{cases}AI = IC = \dfrac12AC\\DI = IE = \dfrac12DE\end{cases}\quad (gt)$

Do đó $AECD$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)

b) $AECD$ là hình thoi

$\Leftrightarrow AD = DC$

$\Leftrightarrow \triangle ADC$ cân tại $D$

$\Leftrightarrow \widehat{DAC} = \widehat{DCA}$

mà $\widehat{DAC} + \widehat{DAB} = \widehat{A} = 90^\circ$

$\widehat{DCA} +\widehat{DBA} = 90^\circ$

nên $\widehat{DAB} = \widehat{DBA}$

$\Leftrightarrow \triangle DAB$ cân tại $D$

$\Leftrightarrow DA = DB$

Do đó: $DA = DB = DC = \dfrac12BC$

Hay $D$ là trung điểm $BC$

Vậy $AECD$ là hình thoi khi $D$ là trung điểm $BC$

 c) $AECD$ là hình chữ nhật

$\Leftrightarrow \widehat{ADC} = 90^\circ$

$\Leftrightarrow AD\perp DC$

Hay $AD\perp BC$

Vậy $AECD$ là hình chữ nhật khi $D$ là chân đường cao kẻ từ $A$ lên $BC$

$\text{áp dụng định lí py-ta-go:}$ (`a^2 + b^2 = c^2`), ta có

   `AB^2 + AC^2 = BC^2`

`⇒ 3^2 + 4^2 = BC^2`

`⇒ BC^2 = 25` (cm)

`⇒ BC = 5 (cm)`

_________________________________________________________________________

`a)`

xét tứ giác `AECD` có :

+ `AI = IC` `=` $\dfrac{1}{2}$ `AC`

+ `DI = IE` `=` $\dfrac{1}{2}$ `DE`

Do đó `AECD` `∈` hình thoi.

_________________________________________________________________________

`b)` 

Lại có : `AECD` `∈` hình thoi.

`⇒`  `AD = DC`

`Δ ADC` cân tại `D`

$\text{suy ra :}$ $\widehat{DAC}$ `=` $\widehat{DCA}$ 

Mà : $\widehat{DAC}$ `+`  $\widehat{DAB}$ `=` $\widehat{A}$ `=` `90^o`

        $\widehat{DAC}$ `+` $\widehat{DBA}$  `=` `90^O`

Nên :  $\widehat{DAB}$ `=` $\widehat{DBA}$

suy ra : `Δ DAB cân tại D` (2 góc kề một đáy bằng nhau)

`⇔ ` `DA = DB`

`⇔` `DA = DB = DC =` $\dfrac{1}{2}$ BC

$\text{Nói cách khác : D là trung điểm của đoạn BC.}$

`⇒` tứ giác `AECD` là hình thoi khi `D` là trung điểm `∈` `BC`

_________________________________________________________________________

`c)`

Vì tứ giác `AECD` là hình chữ nhật 

`⇒` $\widehat{ADC}$ `=` `90^o` (tính chất của `HCN`)

`⇒` `AD` $\bot$ `DC` Hoặc `AD` $\bot$ `BC`

Vậy `AECD` $\in$ hình chữ nhật khi `D` là chân đường cao kẻ từ `A` lên `BC`