1) Ta có MC, MD là tiếp tuyến của (O) nên $\widehat{MCO}=\widehat{MDO}=90^o$

Tứ giác MCOD có $\widehat{MCO}+\widehat{MDO}=180^o$ mà chúng ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác MCOD nội tiếp đường tròn đường kính (OM) (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

2) Ta có K là trung điểm của EF $\Rightarrow OK⊥EF\Rightarrow \widehat{OKM}=90^o$

$\Rightarrow K$ thuộc đường tròn đường kính (MO)

`=>` D, M, C, K, O cùng thuộc đường tròn đường kính (MO)

$\widehat{ DKM}=\widehat{ DOM}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD của (OM))

$\widehat{     CKM }=\widehat{COM}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC của (OM))

$\widehat{DOM} =\widehat{ COM}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Từ 3 điều trên suy ra $\widehat{ DKM}=\widehat{ CKM}$

`=> KM` là phân giác của $\widehat{CKD}$

3) Ta có:

$S_{\Delta MRT} = 2S_{\Delta MOR} = OC . MR = R . ( MC + CR ) \geq 2R . \sqrt{CM . CP}$ (bất đẳng thức côsi)

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta MOR\bot O$ ta có:

$CM.CR = OC^2 = R^2$ không đổi

$\Rightarrow S_{\Delta MRT}\geq2R^{2}$ 

Dấu "=" xảy ra $⇔ CM = CR = R\sqrt{2}$

Khi đó M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính $R\sqrt{2}$

Vậy M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính $R\sqrt{2}$ thì $S_{\Delta MRT min}=2R^2$