$BD$ là phân giác của $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\dfrac12\widehat{B}= 20^\circ$

Trên $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = BD$

$\Rightarrow \triangle BED$ cân tại $B$

$\Rightarrow \widehat{BED}=\dfrac{180^\circ -\widehat{EBD}}{2}= 80^\circ$

Từ $D$ lần lượt kẻ $DH\perp AB;\ DK\perp BC$

$\Rightarrow \widehat{HAD}=\widehat{B} +\widehat{C}= 80^\circ$

$\Rightarrow \widehat{HAD}=\widehat{KED}= 80^\circ$

Ta lại có: $BD$ là phân giác $\widehat{B}$

$DH\perp AB;\ DK\perp AC$

$\Rightarrow DH = DK$ (tính chất đường phân giác)

Xét $\triangle HAD$ và $\triangle KED$ có:

$\begin{cases}\widehat{HAD}=\widehat{KED}\quad (cmt)\\DH = DK\quad (cmt)\\\widehat{H}=\widehat{K}= 90^\circ\end{cases}$

Do đó $\triangle HAD =\triangle KED$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

$\Rightarrow AD = ED\quad (1)$ (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác:

$\widehat{DEB}=\widehat{EDC} + \widehat{DCE}$ (góc ngoài của $\triangle CDE$)

$\Rightarrow \widehat{EDC}=\widehat{DEB} -\widehat{DCE}= 80^\circ - 40^\circ = 40^\circ$

$\Rightarrow \widehat{EDC}=\widehat{DCE}$

$\Rightarrow \triangle CDE$ cân tại $E$

$\Rightarrow ED = EC\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow AD = EC$

Khi đó:

$BD + AD = BE + EC = BC$ (đpcm)