Lời giải:

a) Xét $\triangle ABC$ có:

$AM = MB = \dfrac12AB$

$BN = NC = \dfrac12BC$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\Rightarrow \begin{cases}MN = \dfrac12AC\\MN//AC\end{cases}$

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta được:

$NP, PQ,QM$ lần lượt là đường trung bình của $\triangle BCD;\triangle ACD;\triangle ABD$

$\Rightarrow \begin{cases}NP = \dfrac12BD\\NP//BD\\PQ = \dfrac12AC\\PQ//AC\\QM = \dfrac12BD\\QM//BD\end{cases}$

Do đó:

$\begin{cases}MN//PQ;\ MN = PQ\\NP//QM;\ NP = QM\end{cases}$

$\Rightarrow MNPQ$ là hình hình hành

b) $MNPQ$ là hình chữ nhật

$\Leftrightarrow \widehat{MNP} = 90^\circ$

$\Leftrightarrow MN\perp NP$

mà $\begin{cases}MN//AC\\NP//BD\end{cases}$

nên $AC\perp BD$

Vậy tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc thì $MNPQ$ là hình chữ nhật

a, 

    +,  Xét Δ ABC, có:

          M- trung điểm AB

          N- trung điểm BC

⇒ MN- đường trung điểm của Δ ABC

      ⇒ MN=$\frac{1}{2}$ AC, MN // AC (1)

     +, Xét Δ ADC, có: 

             P- trung điểm DC

             Q- trung điểm AD

⇒ PQ- đường trung bình của Δ ADC

      ⇒ PQ $\frac{1}{2}$ AC, PQ // AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MN=PQ, MN // PQ

      ⇒ MNPQ- hình bình hành

b, Để MNPQ- hình chữ nhật thì ∠ NPQ = $90^{0}$ 

        Mà MN // AC, MQ // BD 

  ⇒ AC ⊥ BD

         Vậy để MNPQ- hình chữ nhật thì AC ⊥ BD