a, Ta có: $ΔABC$ cân tại $A$ 

$=>∠ABI=∠ACI$ và $AB=AC$

Xét $ΔABI$ và $ΔACI$ có:

$∠AIB=∠AIC =90^0$

$=>ΔABI=ΔACI(ch-gn)$

$=>IB=IC$

$=>I$ là trung điểm $BC$.

b,Xét $ΔAEI$ và $ΔAFI$ có:

$AE=AF$

$∠AEI = ∠FAI (ΔABI=ΔACI=>∠BAI=∠CAI)$

$AI$ là cạnh chung

$=>ΔAEI=ΔAIF(c-g-c)$

$=>EI=FI$

$=>ΔIEF $ cân tại $I$

c, Ta có: $AB=AC$ 

$<=>EA+EB=AF+FC$

Mà: $AE=AF$

$=> BE=FC$

Xét $ΔEBI $ và $ΔFCI$ có:

$EB=FC$

$EI=FI$

$BI=CI$

$=> ΔEBI=ΔDCI(c-c-c)$

a) Xét tam giác ABI và ACI có

AB=AC 

ABI=ACI

AIB=AIC=90 độ

=> tam giác ABI=ACI (cạnh huyền góc nhọn)

=> IB=IC (đpcm)

b) vì tam giác ABI=ACI => BAI=CAI

Xét tam giác AEI và AFI có

AE=AF

AI là cạnh chung

ABI=ACI

=> tam giác AEI=AFI (c.g.c) => IE=IF => tam giác IEF cân

c) Vì AB=AB; AE=AF =>  BE=CF

Xét tam giác EBI và FIC có

IB=IC 

BE=CF

EBC=FCB

=> tam giác EBI=FIC