$\\$

`a,`

`\triangle ABC` có : `E,D` là trung điểm của `BC,AC` (gt)

`=>ED` là đường trung bình

`=>`$ED//AB$ và `ED=1/2 AB`

`=> ADEB` là hình thang

`hat{BAD}=90^o` (gt)

`=>ADEB` là hình thang vuông

`b,`

$ED//AB,AB\bot AC$ (gt,cmt)

`=>ED\bot AC` hay `EF\bot AC`

`F` đối xứng `E` qua `D` (gt) hay `D` là trung điểm của `EF`

Tứ giác `AECF` có : `D` là trung điểm của `AC,EF` (gt, cmt)

`=>AECF` là hình bình hành mà `AC\bot EF` (cmt)

`=>AECF` là hình thoi

`c,`

`EH\bot AB` (gt) `=>hat{AHE}=90^o`

`ED\bot AC` (cmt) `=>hat{ADE}=90^o`

Tứ giác `AHED` có :

`hat{HAD}=90^o`

`hat{AHE}=90^o`

`hat{ADE}=90^o`

`=>AHED` là hình chữ nhật

`d,`

`EH\bot AB,AB\bot AC` (gt)

`=>` $EH//AC$

`\triangle ABC` có : `E` là trung điểm của `BC`$, EH//AC$ (cmt)

`=>H` là trung điểm của `AB`

`\triangle ABC` có : `AE,CH` là đường trung tuyến (gt, cmt)

`AE` cắt `CH` tại `M`

`=>M` là trọng tâm

`BD` là đường trung tuyến (gt)

`=>BD` đi qua `M` hay `B,M,D` thẳng hàng `(1)`

`ED=1/2 AB, BH=1/2 AB` (cmt)

`=>BH=DE`

Tứ giác `BEDH` có : `BH=DE` $,BH//DE$ (cmt)

`=>BEDH` là hình bình hành

Nên `HE` cắt `BD` tại trung điểm của mỗi đường

`K` là trung điểm của `HE` (gt)

`=>K` là trung điểm của `BD`

`=> B,K,D` thẳng hàng `(2)`

`(1)(2)=> K,M,D` thẳng hàng

a/

`E,D` lần lượt là trung điểm của `AC,BC`

`=> ED` là đường trung bình của `\triangle ABC`

Suy ra : $ED \parallel  AB \Rightarrow ABED$ là hình thang .

Mà `\hat{BAD} =90^o => ABED` là hình thang vuông (đpcm).

$\\$

b/

Ta có :

`F` đối xứng với `E` qua `D => D` là trung điểm của `EF` . 

Mà `D` là trung điểm của `AC` (gt)

`=> AECF` là hình bình hành (dhnb). `\quad (1)`

$\\$
Lại có : $ED \parallel AB \Rightarrow EF \parallel AB$ .  
Mà `AB \bot AC` . Nên `EF \parallel AC \quad (2)`

$\\$
Từ `(1),(2) => AECF` là hình thoi (dhnb).

$\\$

c/ 
Ta có : $\begin{cases} EG \bot AB \Rightarrow \widehat{EHA} =90^o \\ \widehat{HAD} =90^o \\ EF \bot AC \Rightarrow \hat{EDA} =90^o \end{cases}$

`=> EHED` là hình chữ nhật (dhnb).

$\\$

d/ 

Ta có $EH \parallel AC$ (cmt) ; `E` là trung điểm của `BC`

`=> H` là trung điểm của `AB`

$\\$
Xét `\triangle ABC` có :

`AE` là đường trung tuyến ứng với `BC`

`CH` là đường trung tuyến ứng với `AB`

Mà `{M} = AE ∩ CH => M` là trọng tâm của `\triangle ABC` 

Do `BD` là đường trung tuyến ứng với `AC => M \in BD => B; K ; D` thẳng hàng. `\quad ( ***)`

$\\$
Dễ chứng minh `DE` là đường trung bình ứng với `AB` của `\triangle ABC`

`=> DE =1/2AB =BH` và $DE \parallel AB \Rightarrow DE \parallel BH$

Suy ra : `HBED` là hình bình hành (dhnb).

Nên `BD` cắt `HE` tại trung điểm của mỗi đường .

Có `K` là trung điểm của `HE`(gt) . Vì vậy `K` cũng là trung điểm của `BD`

`=> K \in BD =>B; K ; D` thẳng hàng .`\quad ( ******)`

Từ `(***)` và `(******) => D;M; K` thẳng hàng.