a) Ta có ˆBAH+ˆBAD+ˆDAM=180∘BAH^+BAD^+DAM^=180∘ (kề bù)

Mà ˆBAD=90∘⇒ˆBAH+ˆDAM=90∘BAD^=90∘⇒BAH^+DAM^=90∘ (1)

Trong tam giác vuông AMD, ta có:

ˆAMD=90∘⇒ˆDAM+ˆADM=90∘(2)AMD^=90∘⇒DAM^+ADM^=90∘(2)

Từ (1) và (2) suy ra: ˆBAH=ˆADMBAH^=ADM^

Xét hai tam giác vuông AMD và BHA, ta có:

ˆAMD=ˆBAH=90∘AMD^=BAH^=90∘

AB = AD (gt)

ˆBAH=ˆADMBAH^=ADM^ (chứng minh trên)

Suy ra: ∆AMD = ∆BHA (cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy: AH = DM (2 cạnh tương ứng) (3)

b) Ta có: ˆHAC+ˆCAE+ˆEAN=180∘HAC^+CAE^+EAN^=180∘ (kề bù)

Mà ˆCAE=90∘(gt)⇒ˆHAC+ˆEAN=90∘CAE^=90∘(gt)⇒HAC^+EAN^=90∘ (4)

Trong tam giác vuông AHC, ta có:

ˆAHC=90∘⇒ˆHAC+ˆHCA=90∘(5)AHC^=90∘⇒HAC^+HCA^=90∘(5)

Từ (4) và (5) suy ra: ˆHCA=ˆEANHCA^=EAN^

Xét hai tam giác vuông AHC và ENA, ta có:

ˆAHC=ˆENA=90∘AHC^=ENA^=90∘

AC = AE (gt)

ˆHCA=ˆEANHCA^=EAN^ (chứng minh trên)

Suy ra: ∆AHC = ∆ENA (cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy AH = EN (2 cạnh tương ứng)

Từ (3) và (6) suy ra : DM = EN

Vì DM⊥AHDM⊥AH và EN⊥AHEN⊥AH nên DM // EN (2 đường thẳng cùng vuông góc đường thẳng thứ 3)

Gọi O là giao điểm MN và DE

Xét hai tam giác vuông DMO và ENO, ta có:

ˆDMO=ˆENO=90∘DMO^=ENO^=90∘

DM = EN (chứng minh trên)

ˆMDO=ˆNEOMDO^=NEO^ (so le trong)

Suy ra: ∆DMO = ∆ENO (g.c.g) => OD = DE

Vậy MN đi qua trung điểm của DE.