Đáp án:

`C_1.`

`B = 4^(2n + 1) + 3^(n + 2)` 

`-> B = 4. 16^n + 9 . 3^n`

`-> B = 4. 16^n + 9 . 3^n + 4 . 3^n - 4 . 3^n`

`-> B = 4.(16^n - 3^n) + 13. 3^n`

Do: $\begin{cases} 16^n - 3^n \vdots 13 \\13. 3^n  \vdots 13\end{cases}$

`= =>` `B` $\vdots$ `13`

----------------

`C_2.`

Ta có: `4^2 = 16 ≡ 3` `(mod 13)`

`-> 4^{2n} = 3^n` `(mod 13)`

`-> 4^{2n + 1} = 4 . 3^n` `(mod 13)`

hay `4^{2n + 1} = 4 . 3^n` `(mod 13)`      `(1)`

Ta có: `3^2 = 9 = -4` `(mod 13)`

mà: `3^n ≡ 3^n` `(mod 13)`

`=> 3^2 . 3^n = - 4 . 3^n` `(mod 13)`

`=> 3^{n + 2} = - 4 . 3^n` `(mod 13)`       `(2)`

`(1)(2)` Cộng vế với vế `-> B ≡ 0` `(mod 13)`

`= =>` `B` $\vdots$ `13`

Vậy ` 4^(2n + 1) + 3^(n + 2)` luôn chia hết cho `13`

`∘` dariana

+) Với n = 1 thì 4³ + 3³ = 64 + 27 = 91 chia hết cho 13

+) Giả sử biểu thức trên đúng với n = k (k lớn hơn hoặc bằng 1) => 4^{2k + 1} + 3^{k + 2} chia hết cho 13 thì ta cần chứng minh biểu thức trên đúng với k + 1 tức 4^{2k + 2} + 3^{k + 3}

Thật vậy:

4^{2k + 3} + 3^{k + 3}

= 4^{2k + 1}.4² + 3.3^{k + 2}

= 4^{2k + 1}.3 + 4^{2k + 1}.13 + 3.3^{k + 2}

= 3.(4^{2k + 1} + 3^{k + 2}) + 4^{2k + 1}.13

Vì 3.(4^{2k + 1} + 3^{k + 2}) chia hết cho 13 và 4^{2k + 1}.13 chia hết cho 13

=> 3.(4^{2k + 1} + 3^{k + 2}) + 4^{2k + 1}.13 chia hết cho 13

=> Phép quy nạp được chứng minh

Vậy 4^{2n + 1} + 3^{n + 2} chia hết cho 13