$\\a,$

$D$ đối xứng $A$ qua $M$ (gt) tức $M$ là trung điểm của $AD$

Tứ giác $ABDC$ có :

$M$ là trung điểm của $BC,AD$ (cmt, gt)

$\Rightarrow ABDC$ là hình bình hành mà $\widehat{BAC}=90^o$ (gt)

$\Rightarrow ABDC$ là hình chữ nhật

$b,$

$E$ đối xứng $M$ qua $N$ (gt) tức $N$ là trung điểm của $ME$

$\triangle ABC$ có :

$M,N$ là trung điểm của $BC,AC$ (gt)

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow MN//AB$ mà $AB\bot AC$ (gt)

$\Rightarrow MN\bot AC$ hay $ME\bot AC$

Tứ giác $AMCE$ có :

$N$ là trung điểm của $ME,AC$ (cmt, gt)

$\Rightarrow AMCE$ là hình bình hành mà $ME\bot AC$ (cmt)

$\Rightarrow AMCE$ là hình thoi

$c,$

$AMCE$ là hình thoi (cmt)

$\Rightarrow AE=CM, AE//CM$

$AE=CM, BM=CM$ (cmt, gt)

$\Rightarrow BM=AE$

Tứ giác $ABME$ có :

$BM=AE, BM//AE$ (cmt)

$\Rightarrow ABME$ là hình bình hành

Nên $AM$ cắt $BE$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $I$ là trung điểm của $AM$ (gt)

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $BE$

$\Rightarrow B,I,E$ thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

`a)`
Ta có:
`D` đối xứng với `A` qua `M`
`=>M` là trung điểm của `AD`
Xét tứ giác `ABDC` ta có:
Hai đường chéo `BC` và `AD` cắt nhau tại trung điểm `M` của mỗi đường
`=>` Tứ giác `ABDC` là hình bình hành
Mà `hat{BAC}=90^o(ΔABC` vuông tại `A`)
`=>` Hình bình hành `ABDC` là hình chữ nhật `(text{ĐPCM})`
`b)`
Ta có:
`E` đối xứng với `M` qua `N`
`=>N` là trung điểm của `ME`
Xét tứ giác `AMCE` ta có:
Hai đường chéo `ME` và `AC` cắt nhau tại trung điểm `N` của mỗi đường
`=>` Tứ giác `AMCE` là hình bình hành
`=>AM=CE`
`ABDC` là hình chữ nhật
`=>BC=AD`
`=>(BC)/2=(AD)/2`
`=>MC=AM` mà `AM=CE`
`=>MC=CE`
Có hình bình hành `AMCE` có hai cạnh kề `MC` và `CE` bằng nhau
`=>` Hình bình hành `AMCE` là hình thoi `(text{ĐPCM})`
`c)`
Ta có:
`AMCE` là hình thoi
`=>MC////AE` hay `BM////AE`
`MC=AE`
Lại có:
`M` là trung điểm của `BC`
`=>BM=MC` mà `MC=AE`
`=>BM=AE`
Xét tứ giác `BMEA` ta có:
`BM=AE(cmt);BM////AE(cmt)`
`=>` Tứ giác `BMEA` là hình bình hành
`=>` Hai đường chéo `AM` và `BE` phải cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà `I` là trung điểm của `AM`
`=>I` là trung điểm của `BE`
`=>B;I;E` thẳng hàng `(text{ĐPCM})`