a) Gọi giao điểm của ED và AB là O

          giao điểm của EF và AC là G

*Vì D là điểm đối xứng với E qua AB

⇒ AB ⊥ ED, DO=DE (t/c)

Xét ΔADO và ΔAEO có:

∧AOD=∧AOE=90 độ

AO: cạnh chung

DO=DE (cmt)

⇒ΔADO = ΔAEO (c.g.c)

⇒ AD=AE (2 cạnh t/ứ)

⇒∧DAO=∧EAO (2 góc t/ứ)

*Vì F là điểm đối xứng với E qua AC

⇒ AC ⊥ EF, FG=GE (t/c)

Xét ΔAGE và ΔAGF có:

∧AGE=∧AGF=90 độ

AG: cạnh chung

FG=GE (cmt)

⇒ΔAGE = ΔAGF (c.g.c)

⇒ AE=AF (2 cạnh t/ứ)

⇒∧FAG=∧EAG (2 góc t/ứ)

Ta có: ∧BAC=∧EAO + ∧EAG = 90 độ

                    ∧DAO + ∧FAG  = 90 độ

⇒ ∧EAO + ∧EAG + ∧DAO + ∧FAG = 90 độ +90 độ

Hay                   ∧DAF                     = 180 độ

⇒ D,A,F thẳng hàng (ĐL) (1)

Vì AD=AE

    AF=AE

⇒ AD=AF

⇒ A là trung điểm của DC (ĐN) (2)

Từ (1) và (2), ta có: D và F đối xứng với nhau qua A

b) Tứ giác OEGA có: ∧OAG=90 độ ; ∧ADE = 90 độ

                                 ∧EGA=90 độ (gt)

⇒OEGA là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

⇒∧OEG=90 độ (ĐN)

ΔDEF có ∧DEG=90 độ (cmt)

⇒ ΔDEF là Δ vuông

c) *Xét ΔBDO và ΔBEO có:

∧BOD=∧BOE=90 độ

BO: cạnh chung

DO=OE (cmt)

⇒ΔBDO = ΔBEO (c.g.c)

⇒ BD=BE (2 cạnh t/ứ)

*Xét ΔEGC và ΔFGC có:

∧EGC=∧FGC=90 độ

GC: cạnh chung

EG=GF (cmt)

⇒Δ EGC = ΔFGC (c.g.c)

⇒ EC=FC (2 cạnh t/ứ)

Ta có: BC = BE+EC

   Hay BC = BD + CF

e) Để BDFC là hình bình hành thì CF = BD mà CF = CE; BD = BE (cmt)

⇒ CE = BE

⇔ E là trung điểm của BC