Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10$

Mà $P$ là trung điểm $BC$

$\to AP=PB=PC=\dfrac12BC=5$

Ta có: $S_{ABC}=\dfrac12AB\cdot AC=24$

b.Ta có $M, N, P$ là trung điểm $AB, AC, BC$

$\to PM, PN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to PM//AC, PN//AB$

$\to AMPN$ là hình bình hành

Mà $\hat A=90^o\to AMPN$ là hình chữ nhật

c.Ta có $P, E$ đối xứng qua $N\to N$ là trung điểm $PE$

Mà $N$ là trung điểm $AC$

$\to APCE$ là hình bình hành

Mà $AP=PC$

$\to APCE$ là hình thoi

d.Để $APCE$ là hình vuông

$\to AP\perp PC$ vì $APCE$ là hình thoi

$\to \Delta ABC$ vuông cân tại A$

e.Ta có $AECP$ là hình thoi $\to AE//CP, AE=CP$

Mà $P$ là trung điểm $BC\to AE//BP, AE=BP$

$\to AEPB$ là hình bình hành

$\to AP\cap BE$ tại trung điểm mỗi đường (1)

Tương tự chứng minh được $ADPC$ là hình bình hành

$\to AP\cap CD$ tại trung điểm mỗi đường (2)

Từ $(1), (2)\to AP, BE, CD$ giao nhau tại trung điểm $AP$

$\to AP, BE, CD$ đồng quy