Bài 1:

Ta thấy bức tường và mặt đất tạo với nhau 1 góc bằng $90^o$, nên chiếc thang, bức tường, và mặt đất sẽ tạo thành một tam giác vuông, cạnh huyền là thang 5m, 1 cạnh góc vuông dài 3m, cạnh góc vuông còn lại là chiều cao của bức tường. Áp dụng định lý pitago ta tính được chiều cao của bức tường là:

$\sqrt{5^2-3^2}=4$ (m)

Vậy chiều cao của bức tường là 4m.

Bài 2: a) Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có:

$AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (do AM là phân giác)

$AM$ chung

$\Rightarrow \Delta AMB=\Delta AMC$ (c.g.c) (đpcm)

b) Xét 2 tam giác vuông $\Delta ABH $ và $\Delta ACK$ có:

$AB=AC$ (giả thiết)

$\widehat{BAC}$ chung

$\Rightarrow \Delta ABH =\Delta ACK$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow BH=CK$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

Bài 3: a) Xét $\Delta AME$ và $\Delta DMB$ có:

$AM=DM$ (do M là trung điểm của AD)

$\widehat{AME}=\widehat{DMB}$ (đối đỉnh)

$ME=MB$ (giả thiết)

$\Rightarrow\Delta AME=\Delta DMB$ (c.g.c)

$\Rightarrow AE=DB$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Xét $\Delta AMF$ và $\Delta DMC$ có:

$MA=MD$ (giả thiết cho M là trung điểm của AD)

$\widehat{AMF}=\widehat{DMC}$ (đối đỉnh)

$MF=MC$ (giả thiết)

$\Rightarrow \Delta AMF=\Delta DMC$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{AFM}=\widehat{DCM}$ (hai góc tương ứng) mà chúng ở vị trí so le trong nên $AF//DC$ hay $AF//BC$ (đpcm) (1)

c) $\Delta AME=\Delta DMB$ (cm ở câu a) $\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{DBM}$ (hai góc tương ứng) mà chúng ở vị trí so le trong $\Rightarrow AE//DB$ hay $AE//BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AE//AF$ (do cùng // BC) $\Rightarrow A,E,F$ thẳng hàng (đpcm)

Bài 4: $\widehat{BDA}=\widehat{BCA}+\widehat{DAC}$ (tính chất góc ngoài $\Delta$ bằng tổng hai góc trong không kề với nó)

$\widehat{BAD}=\widehat{BAH}+\widehat{HAD}$

mà $\widehat{BCA}=\widehat{BAH}$ (do cùng cộng $\widehat{ABC}$ ra 90^o)

$\widehat{DAC}=\widehat{HAD} $ (do AD là phân giác $\widehat{HAC}$)

$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BDA}\Rightarrow \Delta BAD$ cân đỉnh B $\Rightarrow BA=BD$ (1)

Chứng minh tương tự:

$\widehat{CEA}=\widehat{CBA}+\widehat{BAE}$ (tính chất góc ngoài tam giác)

$\widehat{CAE}=\widehat{CAH}+\widehat{HAE}$

Mà $\widehat{CBA}=\widehat{CAH}$ (do cùng cộng $\widehat{ACB}$ ra $90^o$)

$widehat{BAE}=\widehat{HAE}$ (do $AE$ là phân giác $\widehat{BAH}$)

$\Rightarrow\widehat{CEA}=\widehat{CAE}\Rightarrow\Delta CAE$ cân đỉnh C $\Rightarrow CA=CE$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $AB+AC=BD+CE=(BH+HD)+(CH+HE)$

$=(BH+CH)+(HD+HE)=BC+DE$

$\Rightarrow AB+AC=BC+DE$ (đpcm)