`a)`

Ta có: `D` là điểm đối xứng của `I` qua `AC, ID` cắt `AC` tại `N`

`⇒ID⊥AC`

Xét tứ giác `AMIN` có:

`hatA=90^o` ( do `ΔABC` vuông tại A)

`hatM=90^o` (do `IM⊥AB`)

`hatN=90^o` ( do `ID⊥AC`)

`⇒AMIN` là hình chữ nhật `(dh1)`

`⇒MN=AI` (`2` đường chéo)

`b)`

Xét `ΔABC` có:

`AI` là trung tuyến

`⇒AI=1/2BC=IC`

`⇒ΔAIC` cân tại `I`

mà `IN` là đường cao ( do `ID⊥AC`)

`⇒IN` là trung tuyến

`⇒NA=NC`

Xét tứ giác `ADCI` có:

`IN=ND` ( do `D` đối xứng với `I` qua `AC`)

`NA=NC` (cmt)

`AC` cắt `ID` tại `N`

`⇒ADCI` là hình bình hành `(dh5)`

mà `IA=IC` (do `ΔAIC` cân tại `I`)

`⇒ADCI` là hình thoi `(dh2)`

`c)`

Tam giác `ABC` là tam giác vuông cân tại `A` thì `ADCI` là hình vuông

Giải thích thêm: Cách cm `ADCI` là hình vuông

+)Cm: `ADIB` là hình bình hành `(dh3)` `⇒ID=AB`

Có: `AB=AC` (do `ΔABC` cân tại `A`)

`⇒ID=AC`  `⇒ADCI` là hình vuông` (dh5)`

+)hoặc : Xét `ΔABC` cân tại `A` có: `AI` là trung tuyến

`⇒AI` là đường cao `⇒AIC=90^o`

`⇒ADCI` là hình vuông `(dh4)`