Đáp án: $l=a\sqrt2$

Giải thích các bước giải:

Gọi $I$ là trung điểm cạnh $AB$

$\Rightarrow OI\bot AB$ và có $AB\bot SO$

$\Rightarrow AB\bot (SOI)$

Trong $\Delta SOI$ dựng $OH\bot SI$ mà $ OH\bot AB$

$\Rightarrow OH\bot(SAB)$

$\Rightarrow d_{(O,(SAB))}=OH=\dfrac{a\sqrt3}{3}$

Đặt bán kính $OA=R$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $SOA$ có $\widehat {SAO}=30^o$ ta có:

$\tan\widehat{SAO}=\dfrac{SO}{OA}\Rightarrow SO=OA.\tan\widehat{SAO}=R.\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{R}{\sqrt3}$

$\cos\widehat{SAO}=\dfrac{OA}{SA}\Rightarrow SA=\dfrac{OA}{\cos\widehat{SAO}}=\dfrac{2R}{\sqrt3}$

Do $\Delta SAB$ cân đỉnh $S$ có $\widehat{SAB}=60^o\Rightarrow \Delta SAB$ đều

$\Rightarrow AB=SA=\dfrac{2R}{\sqrt3}\Rightarrow IB=\dfrac{R}{\sqrt3}$

$\Delta $ vuông $IOB$ có: $OI^2=OB^2-IB^2=R^2-(\dfrac{R}{\sqrt3})^2=\dfrac{2R^2}{3}$

$\Delta $ vuông $SOI$:

$\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OI^2}+\dfrac{1}{SO^2}=\dfrac{1}{\dfrac{2R^2}{3}}+\dfrac{1}{(\dfrac{R}{\sqrt3})^2}=\dfrac{9}{2R^2}=\dfrac{1}{(\dfrac{a\sqrt3}{3})^2}=\dfrac{3}{a^2}$

$\Rightarrow R^2=\dfrac{3a^2}{2}\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt3}{\sqrt2}$

$\Rightarrow l=SA=AB=\dfrac{2R}{\sqrt3}=\dfrac{2\dfrac{a\sqrt3}{\sqrt2}}{\sqrt3}=a\sqrt2$