2. Ta để dàng thấy được :

 a;ba;b là 2 số lẽ khác 55

mà (a+1)b¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a+1)b¯ là số có 2 chữ số ⇒⇒ a;ba;b khác 9

⇒a;b∈{1,3,7}⇒a;b∈{1,3,7}

⇒(a;b)=(1;1);(1;3)(1;7);(3;1);(3;3);(3;7);(7;1);(7;3)(7;7)⇒(a;b)=(1;1);(1;3)(1;7);(3;1);(3;3);(3;7);(7;1);(7;3)(7;7)

Thay lại lần lược ta thấy (1;1);(1;3)(3;1);(3,7);(7;3)(1;1);(1;3)(3;1);(3,7);(7;3) thõa mãn bài toán

Vậy ...

3. Ta cần chứng minh điều này :

CMR:11+22+33+44+...+nn<(n+1)n+1CMR:11+22+33+44+...+nn<(n+1)n+1 (1)

+) với n=1n=1 thì (1) đúng

+) giả sử (1) đúng với n=kn=k tức là : 11+22+...+kk<(k+1)k+111+22+...+kk<(k+1)k+1

ta cũng có thể chứng minh được (1) đúng với n=k+1n=k+1

tức : 11+22+...+kk+(k+1)k+1<(k+2)k+211+22+...+kk+(k+1)k+1<(k+2)k+2

thật vậy : ta có VT<2(k+1)k+1<(k+2)(k+2)k+1=(k+2)k+2VT<2(k+1)k+1<(k+2)(k+2)k+1=(k+2)k+2

⇒⇒ (đpcm)

áp dụng cho bài toán ta có :

11+22+...+9999<10010011+22+...+9999<100100

⇔11+22+...+9999+100100<2.100100⇔11+22+...+9999+100100<2.100100

mà ta để dàng thấy 2.1001002.100100 có 201 chữ số ⇒⇒ (đpcm)