Câu 2

Do đáy là hình vuông cạnh $a$ nên theo Pytago ta có

$AB'^2 = AB^2 + BB'^2$

$ BB'^2 = AB'^2 - AB^2$

Vậy $BB' = 2a\sqrt{2}$.

Do đó, thể tích lăng trụ là

$V_{ABCD.A'B'C'D'} = S_{ABCD} . BB' = a^2 . 2a\sqrt{2} = 2a^3\sqrt{2}$.

Câu 1

a) Hạ $SM \perp AB$. Khi đó, do $(SAB) \perp (ABCD)$ nên $SM \perp (ABCD)$.

Do đó, áp dụng Pytago ta có $SM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Do tam giác SAB đều nên M cũng là trung điểm AB.

Vậy thể tích chóp là

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3} . SM . S_{ABCD} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{a\sqrt{3}}{2} . a . 2a = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$.

b) Gọi N là trung điểm CD. Khi đó MN = AD = 2a và O cũng là trung điểm MN và $MN \perp CD$.

Vậy

$\dfrac{d(O, (SCD))}{d(M, (SCD))} = \dfrac{ON}{MN} = \dfrac{1}{2}$

Do đó

$d(O, (SCD)) = \dfrac{1}{2} d(M, (SCD))$.

Hạ $MH \perp SN$.

Ta có $MN \perp CD, SM \perp CD$ nên $CD \perp (SMN)$. Do đó $CD \perp MH$.

Lại có $MH \perp SN$. Vậy $MH \perp ACD$.

Do đó $MH = d(M, (SCD))$

Áp dụng HTL trong tam giác vuông SMN ta có

$\dfrac{1}{MH^2} = \dfrac{1}{MN^2} + \dfrac{1}{MS^2}$

Vậy $MH = \dfrac{2a\sqrt{57}}{19} = d(M, (SCD))$.

DO đó $d(O, (SCD)) = \dfrac{1}{2} MH = \dfrac{a\sqrt{57}}{19}$.