Giải thích các bước giải:

a, Xét 2 tam giác vuông ΔABE và ΔABD có:

AB chung; AE = AD (gt)

⇒ ΔABE = ΔABD (2 cạnh góc vuông)

⇒ BE = BD (đpcm)

b, D ∈ đường trung trực của BC

⇒ DB = DC ⇒ ΔDBC cân tại D

⇒ $\widehat{DBC} = \widehat{DCB}$

$\widehat{BDE}$ là góc ngoài tại D của ΔDBC

⇒ $\widehat{BDE}$ = 2.$\widehat{DCB}$ = 2.$\widehat{BCE}$

Lại có: $\widehat{BDE}$ = $\widehat{BEC}$ (ΔABE = ΔABD)

⇒ $\widehat{BEC}$ = 2.$\widehat{BCE}$ (đpcm)

c, Trên tia đối của tia IA lấy G sao cho IG = IA

ΔBIA = ΔGIC (c.g.c) ⇒ AB = CG và AB ║ CG (do có 2 góc so le trong bằng nhau)

ΔABC = ΔCGA (2 cạnh góc vuông) ⇒ $\widehat{BCA} = \widehat{GAC}$

$\widehat{BEC}$ = 2.$\widehat{BCE}$ ⇒ $\widehat{BEC}$ = 2.$\widehat{BCA}$

⇔ $\widehat{BEC}$ = 2.$\widehat{GAC}$ = 2.$\widehat{EAF}$

Lại có $\widehat{BEC}$ là góc ngoài tại E của ΔEAF

⇒ $\widehat{BEC}$ = $\widehat{EAF}$ + $\widehat{EFA}$

⇒ $\widehat{EAF}$ = $\widehat{EFA}$ ⇒ ΔAEF cân tại E (đpcm)

d, Ta có: $\frac{AC}{BF}$ = $\frac{AD+DC}{BE+EF}$ = $\frac{AE+BD}{BD+AE}$ = 1