a.

Cách 1:

Ta có `AB////DH` (tính chất hình thang)

`AB //// AD` (vì cùng vuông góc với `DC`)

`=> ABHD` là hình bình hành

Lại có `hat A = 90^o`

`=> ABHD` là hình chữ nhật

Cách 2:

Ta có `hatA = hatD = hat H = 90^o`

`=> ABHD` là hình chữ nhật

b.

Ta có `HC = CD - DH = 9 - 4 =5cm`

`BH = AD = 12cm`

`=> S_(BHC) = (HC*BH)/2 = (5*12)/2 = 30cm^2`

Áp dụng định lí `Pytago` vào tam giác vuông `BHC` ta được:

`BC^2 = BH^2 + HC^2`

`BC^2 = 12^2 + 5^2`

`BC^2 = 169`

`=> BC = 13`

c. (sửa đề vì nếu `N` là trung điểm `AB` thì tam giác `ABN` không thể vuông như dưới hình)

Sửa thành `N` là trung điểm `AD`

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông `ABN`

`BN^2 = AB^2 + AN^2 = AB^2 + ((AD)/2)^2`

`BN^2 = 4^2 + 6^2`

`BN^2 = 52`

`BN = 2sqrt13\qquad (1)`

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông `DHC`

`NC^2 = DN^2 + CD^2= ((AD)/2)^2+CD^2`

`NC^2 = 6^2 + 9^2`

`NC^2 = 117`

`NC = 3sqrt13\qquad (2)`

Từ 1 và 2 áp dụng định lí Pytago đảo, ta có;

`BN^2 + NC^2 = BC^2`

`(2sqrt13)^2 + (3sqrt13)^2 = 13^2`

`=>` tam giác `BNC` vuông tại `N`