Đáp án:

`1)` `A_{min}=6` khi `x=y=1/2`

`2)` `E_{min}=8` khi `a=b=2` 

Giải thích các bước giải:

`1)` 

+) Chứng minh BĐT phụ:

 `1/a+1/b\ge 4/{a+b}\ (a;b>0)` `(1)`

Áp dụng BĐT Cosi với `2` số dương `a;b` ta có:

`\qquad a+b\ge 2\sqrt{ab}`

`=>(a+b)^2\ge 4ab` 

`=>{(a+b)^2}/{(a+b)ab}\ge {4ab}/{(a+b)ab}`

`=>{a+b}/{ab}\ge 4/{a+b}`

`=>a/{ab}+b/{ab}\ge 4/{a+b}`

`=>1/b+1/a\ge 4/{a+b}`

`=>BĐT (1)` được chứng minh

$\\$

+) Với `x;y>0;x+y=1` ta có:

`A= 1/{x^2+y^2}+1/{xy}`

`=1/{x^2+y^2}+2/{2xy}`

`=(1/{x^2+y^2}+1/{2xy})+1/{2xy}`

Áp dụng `BĐT (1)`

`=>1/{x^2+y^2}+1/{2xy}`

`\ge 4/{x^2+y^2+2xy}`

`\ge 4/{(x+y)^2}= 4/{1^2}=4`

$\\$

Áp dụng BĐT Cosi với `x>0;y>0`

`=>x+y\ge 2\sqrt{xy}`

`=>(x+y)^2\ge 4xy`

`=>xy\le {(x+y)^2}/4={1^2}/ 4=1/ 4`

`=>2xy\le 1/ 2`

`=>1/{2xy}\ge `$\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2$

$\\$

`=>A=(1/{x^2+y^2}+1/{2xy})+1/{2xy}`

$\ge 4+2=6$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\quad \begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}$`=>x=y=1/ 2`

Vậy $GTNN$ của `A` bằng `6` khi `x=y=1/ 2`

$\\$

`2)` `a>1;b>1`

`=>\sqrt{a-1}>0;\sqrt{b-1}>0`

`\qquad (\sqrt{a-1}-1)^2\ge 0` 

`=>a-1-2\sqrt{a-1}+1\ge 0`

`=>a\ge 2\sqrt{a-1}`

`=>a/\sqrt{a-1}\ge {2\sqrt{a-1}}/\sqrt{a-1}`

`=>a/\sqrt{a-1}\ge 2`

$\\$

Tương tự chứng minh được: `b/\sqrt{b-1}\ge 2`

Áp dụng BĐT Cosi với hai số dương ta có:

`E={a^2}/{b-1}+{b^2}/{a-1}`

`\ge 2\sqrt{{a^2}/{b-1}. {b^2}/{a-1}}`

`\ge 2. a/\sqrt{a-1} . b/\sqrt{b-1}`

`\ge 2. \ 2 .\ 2=8`

Dấu "=" xảy ra khi:

$\quad \begin{cases}(\sqrt{a-1}-1)^2=0\\(\sqrt{b-1}-1)^2=0\end{cases}$`<=>`$\begin{cases}\sqrt{a-1}=1\\\sqrt{b-1}=1\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}a-1=1\\b-1=1\end{cases}$`<=>`$\begin{cases}a=2\\b=2\end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy $GTNN$ của $E$ bằng `8` khi `a=b=2`