$a)$ Xét đường tròn $(O)$ có $IB,IA$ là hai tiếp tuyến lần lượt tại $B,A$

$→IB=IA$

Xét đường tròn $(O)$ có $IC,IA$ là hai tiếp tuyến lần lượt tại  tại $C,A$

$→ IC=IA$

$→IB=IC=IA=\dfrac{1}{2}BC$

Suy ra $ΔABC$ vuông tại $A$ (tam giác có đường trung tuyến AI ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông) 

$→\widehat{BAC}=90^o$

$b)$ Xét đường tròn $(O)$, có $IB,IA$ là 2 tiếp tuyến lần lượt tại $C,A$

$→IO$ là tia phân giác của $\widehat{BIA}→ \widehat{I_1} = \widehat{I_2}$

Tương tự $→ IO'$ là tia phân giác của $\widehat{CIA}→ \widehat{I_3}=\widehat{I_4}$

Mà $\widehat{BIA}$ và $\widehat{AIC}$ lả 2 góc kề bù

Suy ra $\widehat{OIO'}=90^o$  (hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau).
$c)$ Vì $IA$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nên $IA⊥OO'$ 
Xét tam giác $OIO'$ vuông tại $I$ có $IA$ là đường cao, áp dụng hệ thức giữa đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông, ta có:

$AI^2=AO.AO'→AI^2=9.4 = 36$

$⇒AI= \sqrt{36}=6$

Từ câu a, ta có  $AI = \dfrac{BC}{2}→BC=2AI=2.6=12cm$