Câu 14

Khoảng cách từ M đến đường thẳng đã cho là

$\dfrac{|3a -b + 6|}{\sqrt{3^2 + 1}}$

Để kcach ngắn nhất thì $|3a-b+6|$ là nhỏ nhất. Lại có M thuộc đồ thị $y = \dfrac{2x+1}{x+2}$ nên ta có

$|3a-b+6| = |3a - \dfrac{2a+1}{a+2} + 6| = |\dfrac{3a^2 + 10a +11}{a+2}|$

Xét hso $f(a) = \dfrac{3a^2 + 10a +11}{a+2}$

Có

$f'(a) = \dfrac{3a^2 + 12a + 9} = \dfrac{3(a+1)(a+3)}{a+2}$

Ptrinh có nghiệm là $a = -1$ hoặc $a = -3$

Ta lập được bảng biến thiên của hso và suy ra điểm cực tiểu của hso tại $a = -1$ và GTNN là 4

Từ đó suy ra GTNN của hso $y = |\dfrac{3a^2 + 10a +11}{a+2}|$ là 4 tại $a = -1$, suy ra $b = 1$.

Vậy $T = 3a^2 + 4b^2 = 7$

Vậy đáp án là B.

Câu 15

Đầu tiên, ta sẽ tìm số điểm có 2 tọa độ nguyên nằm trên đồ thị $y = \dfrac{6}{x+2}$

Do 2 tọa độ nguyên nên ta sẽ tìm x nguyên sao cho y nguyên, tức là tìm x nguyên sao cho $\dfrac{6}{x+2}$ nguyên. Vậy $x+2$ là một ước của 6, tức là

$x+2 \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}$

Vậy $x \in \{-8, -5, -4, -3, -1, 0, 1, 4\}$

Ta thấy rằng một đường thẳng chỉ có thể cắt đồ thị này tại tối đa 2 điểm, do đó số đường thẳng có thể có đi qua 2 điểm bất kì trong 8 điểm đó là $C_8^2 = 28$.

Vậy có 28 đường thẳng