$\\$

`a,`

`AM=1/2 AB, AN=1/2 AC` (gt)

`=>AM=AN` (Do `AB=AC`) (*)

`\triangle AHB` vuông tại `H` có `HM` là đường trung tuyến (gt)

`=>HM=1/2 AB` mà `AM=1/2 AB` (gt)

`=>AM=HM` (**)

`\triangle AHC` vuông tại `H` có `HN` là đường trung tuyến (gt)

`=>HN=1/2 AC` mà `AN=1/2 AC` (gt)

`=>AN=HN` (***)
(*)(**)(***) `=> AM=HM=HN=AN`

Tứ giác `AMHN` có :

`AM=HM=HN=AN` (cmt)

`<=>AMHN` là hình thoi

`b,`

Gọi `O` là giao của `AH,MN` (1)

`AMHN` là hình thoi (cmt)

`<=>O` là trung điểm của `AH, MN` và `hat{BAC}=hat{MHN}`

`E` đối xứng `H` qua `M` (gt) nên `M` là trung điểm của `EH`

Tứ giác `AHBE` có : `E` là trung điểm của `HE,AB` (gt, cmt)

`<=>AHBE` là hình bình hành mà `hat{AHB}=90^o` (gt)

`<=>AHBE` là hình chữ nhật

`=>AE=BH` $, AE//BH, HE=AB$

`\triangle ABC` cân tại `A` có `AH` là đường cao (gt)

`=>AH` là đường trung tuyến, phân giác

`=>H` là trung điểm của `BC`

`=>BH=CH` mà `AE=BH` (cmt)

`=>AE=CH`

Tứ giác `AEHC` có :

`AE=CH` $,AE//CH$ (cmt)

`<=>AEHC` là hình bình hành

Nên `AH` cắt `EC` tại trung điểm mỗi đường mà `O` là trung điểm của `AH` (cmt)

`=>O` là trung điểm của `EC`

`=>EC` đi qua `O` (2)

(1)(2) `=> AH,MN,EC` đồng quy

`c,`

`AEBH` là hình vuông

`=>AB` là tia phân giác `hat{EAH}` và `hat{EAH}=90^o`

`=>hat{BAH}=1/2 hat{EAH}` mà `hat{BAH}=1/2 hat{BAC}` (cmt)

`=>hat{EAH}=hat{BAC}=90^o`

`=>\triangle ABC` vuông cân tại `A`

Vậy `\triangle ABC` vuông cân tại `A` để `AHBE` là hình vuong

`d,`

`AEHN` là hình thang cân

`=>hat{AEM}=hat{MHN}`

`EM=1/2 EH=1/2 AB, AM=1/2 AB` (cmt)

`=>EM=EA` nên `\triangle EMA` cân tại `M`

`=>hat{AEM}=hat{EAM}` 

`=>hat{MHN}=hat{EAM}` mà `hat{EAM}=hat{ABC}=hat{ACB}`

`=>hat{MHN}=hat{ABC}=hat{ACB}`

`=>hat{ABC}=hat{ACB}=hat{BAC}`

`=>\triangle ABC` đều

Vậy `\triangle ABC` đều để `AEHN` là hình thang cân

$\underline{\text{A - AMHN LÀ HÌNH THOI}}$

+ Xét `ΔABC` cân tại `A` (gt) có: `AH` là đường cao (`AH ⊥ BC` tại `H`)

`⇒` `AH` là đường trung tuyến của `ΔABC` (t/c Δ cân)

`=> H` là trung điểm `BC` 

+ Xét `ΔABC` có:

$\left.\begin{matrix} \text{M là trung điểm AB (gt)}\\\text{H là trung điểm BC (cmt)} \\\text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ MH là đường TB của ΔABC (t/c)}\\ ⇒ \text{MH // AC (t/c)}$

hay `MH // AN` `(N ∈ AC)`

+ Có: `MH` là đường TB của `ΔABC` (cmt)

`=> MH = 1/2AC ` (t/c)

mà `AN = 1/2 AC` (`N` là trung điểm `AC` - gt)

`⇒ MH = AN (= 1/2 AC)`

+ Xét `ΔAHC` vuông tại `H` (`AH ⊥ BC` tại `H`), ta có:

       `MH` là đường trung tuyến (`M` là trung điểm `AB`)

`⇒ MH = 1/2AB` (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông)

mà `AM = 1/2AB` (`M` là trung điểm `AB`)

`⇒ MH = AM (= 1/2AB)`

+ Xét tứ giác `AMHN` có:

$\left.\begin{matrix} \text{AN // MH (cmt)}\\\text{AN = MH (cmt)} \\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AMHN là hình bình hành (ADHNB)}$

mà `AM = MH` (cmt)

⇒ `AMHN` là hình thoi (DHNB)

$\\$

$\underline{\text{B - CM: AH, MN, EC ĐỒNG QUY}}$

Gọi `O` là giao điểm của `AH` và `MN` $^{(1)}$

+ Xét hình thoi `AMHN` (cmt) có: `O` là giao điểm 2 đường chéo `AH` và `MN` (cv)

`⇒ O` là trung điểm `AH` và `MN` (t/c)

+ Có: `E` đối xứng với `H` qua `M` (gt)

`⇒ M` là trung điểm `EH` (đ/n)

`⇒ HM = 1/2EH`

+ Có:

$\left.\begin{matrix} \text{HM = $\dfrac{1}{2}$EH (cmt)}\\\text{AN = $\dfrac{1}{2}$AC (cmt) } \\ \text{HM = AN (cmt)} \end{matrix}\right\}⇒ EH = AC $

+ Xét tứ giác `AEHC` có:

$\left.\begin{matrix} \text{AC // EH (hay AC // MH - cmt)}\\\text{AC = EH (cmt)} \\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AEHC là hình bình hành (DHNB)}$

+ Xét hình bình hành `AEHC` có: `O` là trung điểm `AH` (cmt)

`⇒ O` là giao điểm `AH` và `EC` (t/c) $^{(2)}$

Từ $^{(1)}$ và $^{(2)}$ `=> AH, MN, EC` đồng quy (đpcm)

$\\$

$\underline{\text{C - TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA ΔABC ĐỂ AHBE LÀ HÌNH VUÔNG}}$

+ Xét tứ giác `AHBE` có:

$\left.\begin{matrix} \text{M là trung điểm AB (gt)}\\\text{M là trung điểm HE (cmt)} \\ \text{AB ∩ HE tại M } \end{matrix}\right\}\text{⇒ AHBE là hình bình hành (DHNB)}$

mà $\widehat{AHB} = 90^o$ 

⇒ `AHBE` là hình chữ nhật (DHNB)

+ Xét `ΔABC` cân tại `A` (gt) có: `AH` là đường cao (cmt)

`=> AH` là phân giác `\hat{BAC}` (t/c Δ cân)

`⇒ \hat{HAB} = 1/2 \hat{BAC} `

+ Để hình chữ nhật `AHBE` là hình vuông thì: 

`AB` là phân giác $\widehat{EAH}$ 

`<=>` $\widehat{HAB} = \dfrac{1}{2}\widehat{EAH} = \dfrac{1}{2}.90^o = 45^o$

mà `\hat{HAB} = 1/2 \hat{BAC}` (cmt)

`=> \hat{BAC} = 2\hat{HAB} = 2.45^o = 90^o`

`=> \triangleABC ` vuông tại `A`

mà `ΔABC` cân tại `A` (gt)

`⇒ ΔABC` vuông cân tại `A`

Vậy: `ΔABC` vuông cân tại `A` thì `AHBE` là hình vuông.

$\\$

$\underline{\text{D - TÌM ĐK CỦA ΔABC ĐỂ AEHN LÀ HÌNH THANG CÂN}}$

+ Có:

$\left.\begin{matrix} \text{EM = $\dfrac{1}{2}$ EH = $\dfrac{1}{2}$ AB }\\\text{AM = $\dfrac{1}{2}$ AB}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ EM = AM}\\ \text{⇒ ΔAEM cân tại M (đ/n)}$

⇒ `\hat{AEM} = \hat{EAM}` (t/c)

+ Có: `AN` // `HE` (cmt)

`⇒ AEHN` là hình thang (đ/n)

+ Để hình thang `AEHN` là hình thang cân `⇔` `\hat{AEH} = \hat{NHE}`

mà `\hat{AEH} = \hat{EAM}` (hay `\hat{AEM} = \hat{EAM}`)

`⇔ \hat{NHE} = \hat{EAM} (= \hat{AEH})`

mà `\hat{ABC} = \hat{ACB} = \hat{EAM}` (t/c phân giác hình chữ nhật )  

`⇒ \hat{NHE} = \hat{ABC} = \hat{ACB}`

mà `\hat{NHE} = \hat{BAC}` (hình thoi $AMHN$)

`⇒ \hat{BAC} = \hat{ABC} = \hat{ACB} (= \hat{NHE})`

`⇒ ΔABC` đều

KL: Vậy `ΔABC` đều thì `AEHN` là hình thang cân.