a/

$\\$
Xét tứ giác `BMNP` có :

$\\$

`\hat{NMB} = 90^o` ( `NM \bot AB`) 

$\\$

`\hat{ABC} =90^o` ( `\triangle ABC` vuông tại `B` )   

$\\$

`\hat{NPB} = 90^o ` ( `NP \bot BC` )

$\\$
`=> BMNP` là hình chữ nhật.

$\\$ 

b/         

$\\$

Vì `\triangle ABC` có đường trung tuyến `BN =>  NA = NC `

$\\$
Mà `BN =1/2BC ` ( t/c đường trung tuyến ) `=> BN = NC` .

$\\$

Suy ra : `\triangle BNC` cân tại `N` có `NP` là đường cao ứng với `BC`

$\\$
Nên `NP` đồng thời là đường trung tuyến ứng với `BC => BP = PC =>BP =1/2BC \quad (1)`

$\\$
Chứng minh tương tự : `=> NM` đồng thời là đường trung tuyến ứng với `AB` 

$\\$
Nên `M` là trung điểm của `AB \quad (2)` . 

$\\$
Xét `\triangle  BHC` vuông tại `H` có :

`HP` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền . Suy ra : `HP =1/2BC= BP`
$\\$
Mà hình chữ nhật `BMNP` là hình chữ nhật nên : `MN = BP => HP = BP \quad (3)` . 

$\\$
Từ `(1) , (2) => MP` là đường trung bình của `\triangle ABC` ứng với `AC`

$\\$

`=>` $MP \parallel AC \Rightarrow HNPM$ là hình thang `\quad (4)`.

$\\$
Từ `(3) , (4) => HNPM` là hình thang cân (đpcm).

c/    

 Ta có : $BK \parallel AC \Rightarrow BK \parallel NC \Rightarrow \widehat{NBC} = \widehat{BCK}$   ( `2` góc so le trong )

$\\$
Xét `\triangle NBP` vuông tại `P` và `\triangle KPC` có :

$\\$

`\hat{NBC} = \hat{BCK}`

$\\$
`NP = PK` (cmt)

`=>\triangle NBP = \triangle KCP` (góc nhọn kề với cgv)

$\\$
Nên `NB = CK \quad (5)`

$\\$
Ta có : `\triangle BKC` có `KP` vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao ứng với `BC`

$\\$
Nên : `\triangle B KC` là `\triangle ` cân . Suy ra : `BK = KC \quad (6)` 

$\\$

Mà `NB = NC ` ( `\triangle NBC` cân tại `N` (cmt) ) ` \quad (7)`

$\\$
Từ `(5) ` và `(6)` và `(7) => NB =NC = CK = BK` .
$\\$
Suy ra : tứ giác `BNCK` là hình thoi.