Lời giải:

Ta có:

$ABCD$ là hình thoi

$AC\cap BD =\{O\}$

$\Rightarrow \begin{cases}OA = OC =\dfrac12AC\\OB = OD =\dfrac12BD\\AC\perp BD\end{cases}$

a) Xét tứ giác $OBMC$ có:

$OB//CM\quad (CM//BD)$

$OC//BM\quad (BM//AC)$

$\Rightarrow OBMC$ là hình bình hành

Ta lại có: $\widehat{O}= 90^\circ\quad (AC\perp BD)$

Do đó $OBMC$ là hình chữ nhật

b) Ta có:

$OBMC$ là hình chữ nhật (câu a)

$\Rightarrow BC = OM$

Ta lại có: $BC = AB$ (hai cạnh hình thoi)

Do đó: $AB = OM$

c) $OBMC$ là hình vuông khi và chỉ khi

$OB = OC$

$\Leftrightarrow 2OB = 2OC$

$\Leftrightarrow BD = AC$

$\Leftrightarrow ABCD$ là hình vuông

a/

$\\$
Vì `ABCD` là hình thoi . Suy ra : `AC ⊥BD ={O} => \hat{BOC} = 90^o \quad (1)`

$\\$
Lại có : $BM \parallel AC \Rightarrow$ `BM \bot BD  => \hat{MBO} = 90^o \quad (2)`

$\\$
$CM \parallel BD \Rightarrow$ ` CM \bot AC => \hat{MCO} =90^o \quad (3)`

$\\$
Từ `(1) ` và `(2)` và `(3) => OBMC` là hình chữ nhật.  

b/

Xét hình chữ nhật `OBMC` có : `BM = OC` ( t/c) `\quad (4)`

$\\$
Mà `AO= OC` ( t/c hình thoi ) `=> BM = OA \quad (5)`

$\\$
Lại có : $MB \parallel OC \Rightarrow MB \parallel OA ( A \in OC) \quad (6)$

$\\$

Từ `(5)` và `(6) => BAOM` là hình bình hành.  Suy ra `AB = OM`  (đpcm).

c/ 

Để hình chữ nhật `OBMC` là hình vuông .

$\\$

`=> OB =OC`

$\\$

`=> 2OB = 2OC => AC = BD <=> ABCD` là hình vuông.

$\\$
Vậy `ABCD` là hình vuông thì `OBMC` là hình vuông.