Bài 1

a) Ta có

$A = 2 + 2^2 + \cdots + 2^{100}$

$2A = 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{101}$

Khi đó

$A = 2A - A = (2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{101}) - (2 + 2^2 + \cdots + 2^{100})$

$= 2^{101} - 2$

Vậy $A = 2^{101}-2$

b) Ta có

$A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^{99} + 2^{100}$

$= 2(1 + 2) + 2^3(1 + 2) + \cdots + 2^{99}(1 + 2)$

$= 3.2 + 3.2^3 + \cdots + 3.2^{99}$

$= 3(2 + 2^3 + \cdots + 2^{99})$

Vậy A chia hết cho 3.

c) Làm tương tự Câu b) nhưng ghép liên tiếp 3 số hạng.

Bài 2

a)

$(7^{1997} - 7^{1995}) : (7^{1994}.7) = 7^{1995}(7^2 - 1) : 7^{1995} = 49-1 = 48$

c) Ta có

$4D = 4^2 + 4^3 + \cdots + 4^{103}$

Khi đó

$3D = 4D - D = (4^2 + 4^3 + \cdots + 4^{103}) - (4 + 4^2 + 4^3 + \cdots + 4^{102})$

$= 4^{103}-4$

Vậy $D = \dfrac{4^{103}-4}{3}$

Bài 3

a) Ta có

$5^7 - 5^6 + 5^5 = 5^5(5^2 - 5 + 1) = 5^5.21$

Vậy $5^7 - 5^6 + 5^5$ chia hết cho 21.

b) Ta có

$7^{10} + 7^9 - 7^8 = 7^7.7^3 + 7^7.7^2 - 7^7.7 = 7^7(7^3 + 7^2 - 7)$

$= 7^7 . 385 = 7^7 . 5.77$

Vậy $7^{10} + 7^9 - 7^8$ chia hết cho 77.

Ta có

$4^{13} + 32^5 - 8^8 = (2^2)^{13} + (2^5)^5 - (2^3)^8$

$= 2^{26} + 2^{25} - 2^{24}$

$= 2^{24} (2^2 + 2 -1)$

$= 2^{24}.5$

Vậy $4^{13} + 32^5 - 8^8$ chia hết cho 5.