Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có: $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

áp dụgj đẳng thức trên vào biểu thức ta có

$C=\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{2\times 3}-\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{98\times 99}-\frac{99\times 100}\\\Leftrightarrow C=\frac{1}{2}-\frac{1}{99\times frac{100}}\\\Leftrightarrow C=\frac{4949}{9900}$

Giải: Đặt A = 1/1.2.3 + 1/2.3.4 + 1/3.4.5 + ... + 1/98.99.100

Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.

Ta xét:

1/1.2 - 1/2.3 = 2/1.2.3; 1/2.3 - 1/3.4 = 2/2.3.4;...; 1/98.99 - 1/99.100 = 2/98.99.100

tổng quát: 1/n(n+1) - 1/(n+1)(n+2) = 2/n(n+1)(n+2). Do đó:

2A = 2/1.2.3 + 2/2.3.4 + 2/3.4.5 +...+ 2/98.99.100

= (1/1.2 - 1/2.3) + (1/2.3 - 1/3.4) +...+ (1/98.99 - 1/99.100)

= 1/1.2 - 1/2.3 + 1/2.3 - 1/3.4 + ... + 1/98.99 - 1/99.100

= 1/1.2 - 1/99.100

= 1/2 - 1/9900

= 4950/9900 - 1/9900

= 4949/9900.

Vậy A = 4949 / 9900