`a)` Gọi `H` là giao điểm của `AC` và `OD`

Ta có: `OA=OC=5cm`

`=>∆OAC` cân tại `O`

Mà `OH`$\perp AC$ (gt)

`=>OH` vừa là đường cao, phân giác và trung tuyến $∆OAC$

`=>H` là trung điểm $AC$

`=>AH={AC}/2=8/2=4cm`

$\\$

Xét $∆OAH$ vuông tại $H$

`=>OA^2=AH^2+OH^2` (định lý Pytago)

`=>OH^2=OA^2-AH^2=5^2-4^2=9`

`=>OH=\sqrt{9}=3cm`

$\\$

Xét $∆OAD$ vuông tại $A$ có $AH\perp OC$

`=>OA^2=OH.OD` (hệ thức lượng)

`=>OD={OA^2}/{OH}={5^2}/3={25}/3cm`

Vậy `OD={25}/3cm`

$\\$

`b)` Vì `OH` là phân giác của `∆OAC` (câu a)

`=>\hat{COD}=\hat{AOD}`

$\\$

Xét $∆COD$ và $∆AOD$ có:

`\qquad OD` là cạnh chung 

`\qquad \hat{COD}=\hat{AOD}` (c/m trên)

`\qquad OA=OC=5cm`

`=>∆COD=∆AOD` (c-g-c)

`=>\hat{OCD}=\hat{OAD}=90°`

`=>CD`$\perp OC$

Vì `OC=5cm` là bán kính của `(O;5cm)`

`=>CD` là tiếp tuyến tại `C` của `(O)`

$\\$

`c)` Đề sai vì `OD; AB` là hai cạnh lớn nhất của $∆DOA; ∆ABC$

Mà `OD={25}/3cm; AB=2OA=2.5=10cm`

`=>OD\ne AB`

`=> ` Hai tam giác $∆DOA; ∆ABC$ không bằng nhau

$\\$

`d)` $DA;DC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `D` $(A;C$ là hai tiếp điểm)

`=>DO` là phân giác của `\hat{ADC}` 

`=>DH` là phân giác của `\hat{ADC}` (*)

$\\$

Xét $∆AHI$ vuông tại $H$

`=>\hat{AIH}+\hat{IAH}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{AIO}+\hat{IAH}=90°` $(1)$

$\\$

`\qquad \hat{IAO}+\hat{IAD}=\hat{OAD}=90°` $(2)$

Vì $OI=OA=5cm$

`=>∆OAI` cân tại `O`

`=>\hat{AIO}=\hat{IAO}` $(3)$

Từ `(1);(2);(3)=>\hat{IAH}=\hat{IAD}` 

`=>AI` là phân giác của `\hat{CAD}` (**)

$\\$

Từ (*);(**) và `I` là giao điểm của `DH`; `AI`

`=>I` là tâm đường tròn nội tiếp $∆ADC$

(Tâm đường tròn nội tiếp ∆ là giao điểm các đường phân giác trong ∆)