a) Trả lời: Hình chữ nhật. Vì:

Xét tứ giác ADCF, ta có:

- E là trung điểm của AC (Giả thuyết)

- E là trung điểm của FD (F đối xứng với D qua E)

- AC và FD cắt nhau tại E

=> Tứ giác ADCF là hình bình hành

Lại có $\widehat{ADC} = 90^o$ (Do AD là đường cao)

=> Hình bình hành ADCF là hình chữ nhật

b) Xét hình chữ nhật ADCF, ta có:

- AF = CD (tính chất của hình chữ nhật: Hai cạnh đối nhau thì bằng nhau)

- CD = BD (Đường cao của tam giác cân cũng là đường trung tuyến của nó)

=> AF = BD (đpcm)

c) Xét tứ giác ABNC, ta có:

- D là trung điểm của AN (N là điểm đối xứng với A qua D)

- D là trung điểm của CB (Đường cao của tam giác cân cũng là đường trung tuyến của nó)

- AN và CB cắt D

=> Tứ ABNC là hình bình hành

*Lại có: 

Cách 1, ta có:

- AB = AC ($\triangle ABC$ là tam giác cân)

=> Hình bình hành ABNC là hình thoi

Cách 2, ta có:

- AN vuông góc với CB (AD là đường cao của $\triangle ABC$)

=> Hình bình hành ABNC là hình thoi

Cách 3, ta có:

- AN là đường phân giác của $\widehat{BAC}$

=> Hình bình hành ABNC là hình thoi

d) Sorry mình không trả lời được