Đáp án + Giải thích các bước giải:

Hình ở dưới

 a) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta EBM$, ta có:

`{(BE = BA(\text{gt})), (BM\text{ là cạnh chung}), (hat {ABM} = hat {EBM} (\text {BM là tia phân giác của } \hat { ABC})):}`

$\Rightarrow \Delta ABM = \Delta EBM$ (c - g - c)

b) Ta có: $\Delta ABM = \Delta EBM$ (cmt)

$\Rightarrow AM = EM$(2 cạnh tương ứng)

c) Ta có: $\Delta ABM = \Delta EBM$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {BEM}$(2 góc tương ứng)

Mà $\widehat {BAM} = 90^o (\widehat {BAC} = 90^o, M \in AC)$

$\Rightarrow \widehat {BEM} = 90^o$

d) Gọi $I$ là giao điểm của $BM$ và $AE$

Xét $\Delta ABI$ và $\Delta EBI$, ta có:

`{(BE = BA(\text{gt})), (BI\text{ là cạnh chung}), (hat {ABI} = hat {EBI} (\hat {ABM} = \hat {EBM}, I \in BM)):}`

$\Rightarrow \Delta ABI = \Delta EBI$ (c - g - c)

$\Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {EIB}$(2 góc tương ứng)

Mà $\widehat {AIB} + \widehat {EIB} = 180^o$

$\Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {EIB} = 90^o$

$\Rightarrow BI \bot AE$
$\Rightarrow BM \bot AE (I \in BM)$

Ta có:

$\Delta ABI = \Delta EBI$ (cmt)

$\Rightarrow AI = EI$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $AE$

Ta có:

`{(BM \bot AE(cmt)), (\text {I là trung điểm của AE}), (BM \text{ cắt } AE \text{ tại I}):}`

$\Rightarrow BM$ là đường trung trực của $AE$

Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) Vì BM là tia phân giác của ∠B

=>  ∠B1 = ∠B2

Xét ΔABM và ΔEBM có:

Cạnh BM chung

∠B1 = ∠B2 (cmt)

AB = EB (gt)

=> ΔABM = ΔEBM (c - g - c)

b) Từ ΔABM = ΔEBM

=> AM = EM (2 cạnh tương ứng)

c) Từ ΔABM = ΔEBM

=> ∠BAM = ∠BEM (2 góc tương ứng)

mà ∠BAM = 90

=> ∠BEM = 90

d) Gọi giao điểm của AE và BM là H

Xét ΔEBH và ΔABH có:

Cạnh BH chung

∠B1 = ∠B2 (cmt)

AB = EB (gt)

=> ΔEBH = ΔABH (c - g - c)

=> HE = HA (2 cạnh tương ứng)

=> H là trung điểm của AE

=> ∠BHE = ∠BHA (2 góc tương ứng)

mà ∠BHE + ∠BHA = 180

=> ∠BHE = ∠BHA = 180/2 = 90

=> BH ⊥ AE

mà BH trùng với BM

BM cắt AE tại H

=> BM ⊥ AE

=> BM là đường trung trực của AE (đpcm)