Đáp án:

a) $C=323400$

b) Đáp án bên dưới.

Giải thích các bước giải:

a)

$C=1.2+2.3+3.4\ +\,.\!.\!.+\ 98.99\\\Rightarrow 3C=1.2.3+2.3.3+3.4.3\ +\,.\!.\!.+\ 98.99.3\\\Rightarrow 3C=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)\ +\,.\!.\!.+\ 98.99.(100-97)\\\Rightarrow 3C=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4\ +\,.\!.\!.+\ 98.99.100-97.98.99\\\Rightarrow 3C=(1.2.3+2.3.4+3.4.5\ +\,.\!.\!.+\ 98.99.100)-(1.2.3+2.3.4\ +\,.\!.\!.+\ 97.98.99)\\\Rightarrow 3A=98.99.100\\\Rightarrow A=33.98.100\\\Rightarrow A=323400$

b)

$n.(n+2013)=n^2+2013n$.

Khi $n$ là số chẵn thì $n^2$ và $2013n$ luôn chẵn.

$\Rightarrow n.(n+2013)\ \vdots\ 2\Leftrightarrow n=2k(k\in N)(1)$.

Khi $n$ là số lẻ thì $n^2$ và $2013n$ luôn là số lẻ. Dù thế, khi ta tính tổng của hai số lẻ thì kết quả là số chẵn $\Rightarrow n^2+2013n=2m+1(m\in N)$

$\Rightarrow n.(n+2013)\ \vdots\ 2\Leftrightarrow n=2k+1(k\in N)(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $n.(n+2013)\ \vdots\ 2\,\forall\,n\in N$.

Đáp án:

`a)`

`C = 1.2 + 2.3 + 3.4 +… + 98.99`

`3C = 3.1.2 + 3.2.3 + 3.3.4 +… + 3.98.99`

`3C = (3 - 0).1.2 + (4 - 1).2.3 + (5 - 2).3.4 +… + (100 - 97).98.99`

`3C = 3.1.2 - 0.1.2 + 4.2.3 - 1.2.3 + 5.3.4 - 2.3.4 +… + 100.98.99 - 97.98.99`

`3C = 100.98.99 `

`C = 100.98.99 : 3 = 100.98.33 = 323400`

`b)`

$\text{TH1:}$

`\text{n chẵn}`

`\text{ => n + 2013 lẻ}`

`\text{ =>n.( n + 2013 ) chẵn}`

`\text{ => n.( n + 2013 ) chia hết cho 2}`

$\text{TH2:}$

`\text{n lẻ}`

`\text{ => n + 2013 chẵn}`

`\text{ => n.( n + 2013 ) chẵn}`

`\text{ => n.( n + 2013 ) chia hết cho 2}`

`\text{Vậy n.( n + 2013 ) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n}`

Giải thích các bước giải: