a)  Khi $CD\bot MA$

Kẻ $OP\bot CD\,\,;\,\,O'Q\bot CD\Rightarrow OP//O'Q$

$\Rightarrow P,Q$ lần lượt là trung điểm $AC,AD$

Xét hình thang $OPQO'$ có:

$M$ là trung điểm $OO'$ ; $MA//OP//O'Q$

$\Rightarrow A$ là trung điểm $PQ$

$\Rightarrow AP=AQ$

$\Rightarrow 2AP=2AQ$

$\Rightarrow AC=AD$

b)  Khi $CD$ đi qua $A$ và không vuông góc $MA$

Gọi $I$ là giao điểm $EG$ và $FH$

Xét $\left( O \right)$ có $AE$ là đường kính

$\Rightarrow AG\bot GE$   và   $AB\bot BE$

Xét $\left( O' \right)$ có $AF$ là đường kính

$\Rightarrow AH\bot HF$   và   $AB\bot BF$

Từ $AG\bot GE\Rightarrow FG\bot IE$

Từ $AH\bot HF\Rightarrow EH\bot IF$

Từ $\begin{cases}AB\bot BE\\AB\bot BF\end{cases}$$\Rightarrow E,B,F$ thẳng hàng $\Rightarrow AB\bot EF$

$\Delta IEF$ có hai đường cao $FG,EH$ giao nhau tại $A$

$\Rightarrow A$ là trực tâm $\Delta IEF$

$\Rightarrow IA\bot EF$

Mà $AB\bot EF\Rightarrow I,A,B$ thẳng hàng

Vậy $AB,EG,FH$ đồng quy tại $I$

Có $AC=2AP$  ;  $AD=2AQ$

$\Rightarrow AC+AD=2AP+2AQ$

$\Rightarrow CD=2PQ$

$\Rightarrow CD$ lớn nhất khi $PQ$ lớn nhất

Có $OPQO'$ là hình thang vuông tại $P,Q$

Nên $PQ\le OO'$

Dấu “=” xảy ra khi $OPQO'$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow PQ//OO'$

$\Rightarrow CD//OO'$

Vậy $CD//OO'$ thì $CD$ lớn nhất