Đáp án:

Vậy $x=2;y=2;z=5$ thỏa mãn 

Giải thích các bước giải:

Ta có: $x^y+1=z\text{ (x,y,z là các số nguyên tố)}$

Với $z=2$ thì $x^y+1=2$

$=>x^y=1$

Mà x và y là các số nguyên tố (số nguyên tố thì phải lớn hơn hoặc bằng 2)

Nên không có kết quả thỏa mãn

Do đó $z\geq3$ 

Nên z là số lẻ (vì z nguyên tố)

$=>x^y+1\text{ cũng là số lẻ}$

$=>x^y\text{ cũng là số chẵn}$

$=>x \text{ là số chẵn}$

$=>x=2$ (Vì chỉ có 2 là số chẵn nguyên tố duy nhất)

$=>2^y+1=z$

Với $y=2$ thì $z=5$

$=>\text{Thỏa mãn điều kiện}$

Vậy $x=2;y=2;z=5$ thỏa mãn

Với $y>2$:

$=>y\text{ là số lẻ}$ (vì số nguyên tố lớn hơn 2 là số lẻ)

Đặt $y=2k+1$

Có: $x^{2k+1}+1=z$

$=>x^{2k+1}+1^{2k+1}=z$ (Phần sau là một hằng đẳng thức, bạn có thể tham khảo hằng đẳng thức này trên mạng)

$=>(x^{2k+1}+x^{2k})-(x^{2k}+x^{2k-1})+x{2k-1}-...+1^{2k+1}=z$

$=>(x+1)x^{2k}-(x+1)(x^{2k-1}+(x+1)(x^{2k-2}-...+(x+1)=z$

$=>(x+1)(x^{2k}-(x^{2k-1}+(x^{2k-2}-...+1)=z$

$=>(2+1)(x^{2k}-(x^{2k-1}+(x^{2k-2}-...+1)=z$

$=>3(x^{2k}-(x^{2k-1}+(x^{2k-2}-...+1)=z$

Vì $y>2$ nên $x^y+1=z>3$ (với mọi x,y,z là số nguyên tố)

Nên $z\vdots 3$

$=>\text{Không thỏa mãn đề bài}$

Vậy $x=2;y=2;z=5$ thỏa mãn

Bình luận: Với những bài như thế này, tìm x, y, z sao cho x, y, z là số nguyên tố...thì xét trường hợp nhỏ đến lớn chút xíu và rút ra kết luận của những thí nghiệm đó.