$\underline{\text{A - BMNC LÀ HÌNH THANG CÂN}}$

+ Có: ΔABC cân tại A (gt)

$⇒\begin{cases} AB = AC (đ/n)\\\widehat{ABC} = \widehat{ACB} (t/c)\\ \end{cases}$

+ Xét ΔABC có:

$\left.\begin{matrix} \text{M là trung điểm AB (gt)}\\\text{N là trung điểm AC (gt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ MN là đường TB của ΔABC (đ/n)}\\⇒ MN // BC (t/c) \\ ⇒ \text{Tứ giác BMCN là hình thang (đ/n)}$

+ Xét hình thang BMCN có:

    $\widehat{MBC} = \widehat{NCB} \text{ (hay $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ - cmt)}$

⇒ BMCN là hình thang cân.

$\\\\$

$\underline{\text{B - PMAQ LÀ HÌNH THANG}}$

+ Có: Q là điểm đối xứng với Q qua N (gt)

⇒ N là trung điểm PQ (gt)

+ Xét ΔABC có:

$\left.\begin{matrix} \text{N là trung điểm AC (gt)}\\\text{P là trung điểm BC (gt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ NP là đường TB của ΔABC (đ/n)}\\\text{⇒ NP // AB (t/c)}\\\text{hay AM // PQ (M thuộc AB; N thuộc PQ)}$

+ Xét tứ giác PMAQ có:

    PQ // MA (cmt)

⇒ PMAQ là hình thang

$\\\\$

$\underline{\text{C - ABPQ LÀ HÌNH BÌNH HÀNH}}$

+ Có: NP là đường TB của ΔABC (cmt)

⇒ $\text{NP = $\dfrac{1}{2}AB$ (t/c)}\\$

mà $\text{NP = $\dfrac{1}{2}$PQ (N là trung điểm PQ - cmt)}$

⇒ AB = PQ (= 2NP)

+ Xét tứ giác ABPQ có:

$\left.\begin{matrix} \text{AB = PQ (cmt)}\\\text{AB // PQ (hay AB // PN - cmt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ ABPQ là hình bình hành (AHNB)}$

$\\\\$

$\underline{\text{D - APCQ LÀ HÌNH CHỮ NHẬT}}$

$\text{+ Có:}\left.\begin{matrix} \text{AB = AC (cmt)}\\\text{AB = PQ (cmt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AC = PQ (= AB)}$

+ Xét tứ giác APCQ có:

$\left.\begin{matrix} \text{N là trung điểm AC (gt)}\\\text{N là trung điểm PQ (gt)}\\ \text{AC cắt PQ tại N} \end{matrix}\right\}\text{⇒ APCQ là hình bình hành (DHNB)}\\ \text{mà AC = PQ (cmt)}\\ \text{⇒ APCQ là hình chữ nhật (DHNB)} $