Đáp án + giải thích các bước giải : 

$\\$ $\bullet$ Vì `ABCD` là hình vuông (gt)

$\\$ `=> {(AB = BC = CA = AD (1) ),(hat(ABC) = hat(A) = hat(ADC) = hat(DAC) = 90^o):}`

$\\$ Nối `BD` 

$\\$`=>` BD là tia phân giác của `hatABC`

$\\$` => hat(ABD) = hat(DBC) = hat(ABC)/2 = 90^o/2 = 45^o`

$\\$ `Vì : ME bot AB` (gt) $\\$  `=> triangleMEB` vuông tại `E` 

$\\$ `Mà : hat(ABD) = hat(EBM) = 45^o (cmt)`

$\\$` => triangle MEB` vuông cân tại `E` 

$\\$` => ME = BE (t//c)`

$\\$ Xét tứ giác `AEMF` có : `hatA = hat(AEM) = hat(AFM) = 90^o`

$\\$ `=> AEMF` là hình chữ nhật

$\\$` => AF = EM = BE (ME = BE) (2) `

$\\$ `Từ (1);(2) => AB - BE = AD - AF => AE = DF`

$\\$ Xét `triangleADE` và `triangle DCF` có :
$\\$ `{(AE = DF(cmt) ),( hat(A) = hat(CDF) = 90^o),(AD = DC (cmt)):}`

$\\$` => triangleADE = triangle DCF (c.g.c)`

$\\$ `=> DE = CF ` ( 2 cạnh tương ứng)

$\\$ `b)` Kẻ `FM` cắt `BC` tại `N` 

$\\$ $\bullet$ Chứng minh `ABNF; FNCD` là hình chữ nhật

$\\$ Từ đó dễ dàng chứng minh được :
$\\$ `triangle AEF = triangle NCM (c.g.c)`

$\\$` => hat(AFE) = hat(NMC) ` (2 góc tương ứng)

$\\$` Mà : hat(NMC) = hat(PNF)` (2 góc đối đỉnh)

$\\$` => hat(AFE) = hat(PNF)`

$\\$` Ta có :  hat(AFE) + hat(EFM) = 90^o`

$\\$` => hat(EFM) + hat(PNF)  = 90^o`

$\\$` => hat(FPM) = 90^o`

$\\$` => CF bot EF`

$\\$ $\bullet$ Xét `triangle ABF ` và `triangle BCE` có :
$\\$ `{(hatA = hat(EBC) = 90^o),(AB = BC(cmt)),(AF= BE(cmt)):}`

$\\$` => triangle ABF = triangle BCE (c.g.c)`

$\\$` => hat(ECB) = hat(ABF) ` (2 góc tương ứng)

$\\$ `Mà : hat(ECB) + hat(BEC) = 90^o `

$\\$` => hat(ABF) + hat(BEC) = 90^o `

$\\$ `=> BF bot CE` 

$\\$ Chứng minh tương tự, ta được : `DE bot CF`

$\\$ Gọi `S` là giao điểm củ `BF;DE`

$\\$ `Xét triangle ECF có : BF bot CE ; DE bot CF` 

$\\$` => S ` là trực tâm của `triangle ECF`

$\\$` Mà : CF bot EF (cmt)`

$\\$` => CF` đi qua `S`

$\\$` => DE;BF;CM` đồng quy