`a)` Xét $∆EBD$ và $∆EBN$ có:

`\qquad BE` là cạnh chung 

`\qquad \hat{BED}=\hat{BEN}=90°`

`\qquad ED=EN` (gt)

`=>∆EBD=∆EBN` (c-g-c)

$\\$

`b)` Xét $∆HBA$ và $∆HBM$ có:

`\qquad BH` là cạnh chung

`\qquad \hat{BHA}=\hat{BHM}=90°`

`\qquad HA=HM` (gt)

`=>∆HBA=∆HBM` (c-g-c)

`=>BA=BM` (hai cạnh tương ứng)

Mà `AB=AD` (gt)

`=>BM=AD`

$\\$

`c)` Vì `∆HBM=∆HBA` (câu b)

`=> \hat{HBM}=\hat{HBA}` (hai góc tương ứng)

$\\$

Vì $∆EBN=∆EBD$ (câu a)

`=>BN=BD` (hai cạnh tương ứng)

`\qquad \hat{EBN}=\hat{EBD}` (hai góc tương ứng)

`=>\hat{HBM}-\hat{EBN}=\hat{HBA}-\hat{EBD}`

`=>\hat{NBM}=\hat{DBA}`

$\\$

Xét $∆BMN$ và $∆BAD$ có:

`\qquad BM=BA` (đã c/m câu b)

`\qquad \hat{NBM}=\hat{DBA}` (c/m trên)

`\qquad BN=BD` (c/m trên)

`=>∆BMN=∆BAD` (c-g-c)

`=>\hat{BMN}=\hat{BAD}=90°` (hai góc tương ứng)

Vậy `\hat{BMN}=90°`

$\\$

`d)` Vẽ $DF\perp AH$ tại $F$

Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có:

`\hat{ABH}+\hat{BAH}=90°` (hai góc phụ nhau) `(1)`

$\\$

Vì `\hat{BAD}=90°`

`=>\hat{BAH}+\hat{DA F}=90°` $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>\hat{ABH}=\hat{DA F}`

$\\$

Xét $∆ABH$ và $∆DA F$ có:

`\qquad \hat{AHB}=\hat{DFA}=90°`

`\qquad AB=DA` (gt)

`\qquad \hat{ABH}=\hat{DA F}` (c/m trên)

`=>∆ABH=∆DA F` (cạnh huyền -góc nhọn)

`=>HA=FD` (hai cạnh tương ứng) $(3)$

$\\$

Ta có: `DE`//$AH$ (cùng $\perp BC$)

`=>\hat{FDE}=\hat{A FD}=90°` (hai góc so le trong)

Xét tứ giác $DEHF$ có:

`\hat{DEH}=\hat{EHF}=\hat{HFD}=\hat{FDE}=90°`

`=>DEHF` là hình chữ nhật 

`=>FD=HE` $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)=>HA=HE` (đpcm)