Bài 3. Chứng tỏ rằng: 5" +2.3"- +1 chia hết cho 8 với mọi số nguyên dương n.
Lời giải 1 :
Với $n=1$: $5^1+2.3^{1-1}+1=5+2.3^0+1=8$ chia hết cho $8$
Giả sử với $n=k$ thì $5^k+2.3^{k-1}+1$ chia hết cho $8$
Ta đi chứng minh $n=k+1$ thì $5^{k+1}+2.3^k+1$ chia hết cho $8$
$\begin{array}{l} {5^{k + 1}} + {2.3^k} + 1\\ = {5.5^k} + {2.3.3^{k - 1}} + 1\\ = 5\left( {{5^k} + {{2.3}^{k - 1}} + 1} \right) - 4\left( {{3^{k - 1}} + 1} \right)\\ + 5\left( {{5^k} + {{2.3}^{k - 1}} + 1} \right) \vdots 8\left( {\text{Giả thiết quy nạp}} \right)\\ + {3^{k - 1}} + 1 \vdots 2 \Rightarrow 4\left( {{3^{k - 1}} + 1} \right) \vdots 8\\ \Rightarrow {5^{k + 1}} + {2.3^k} + 1 \vdots 8 \end{array}$
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Thảo luận
Lời giải 2 :
Xét : `n = 2` `<=>` `a = 5^2+6+1=32 : 8`
Giả sử : `Cn : 8` với `n=k`
`f(KH)` `=` `5^k+1+2.3^k+1:8`
C/m : `Cn:8` với `n=k+1`
`f(k+2)=5^k+2+2.3^k+1+1`
`=>` `f(k+2)-f(KH) `=` [5^k+2+6.3^k+1]-[5.5^k+2.3^k+1]`
`= ` `25.5^k+6.3^k+1-5.5^k-2.3^k-1`
`= ` `20.5^k+4.3^k`
` =` `4.(5.5^k+3^k)`
Ta có `5.5^k` là số lẻ, `3^k` là số lẻ
`=>` `5.5^k+3^k` là số chẵn
`=>` `5.5^k+3^k:2`
`=>` `4.(5.5^k+3^k):8`
`=>` `f(k+2)=f(KH)+8N`
`=>` `f(k+2):8`
`=> ` `5^n+2.3^n-1+1:8` luôn dương.
Có thể bạn quan tâm
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự 7
Lớp 7 - Năm thứ hai ở cấp trung học cơ sở, một cuồng quay mới lại đến vẫn bước tiếp trên đường đời học sinh. Học tập vẫn là nhiệm vụ chính!
Nguồn : ADMIN :))Xem thêm tại https://loigiaisgk.com/cau-hoi or https://giaibtsgk.com/cau-hoi
Copyright © 2021 HOCTAPSGK