Đáp án:

 Bạn tham khảo !

Giải thích các bước giải:

$\\$

`a,`

Xét `\triangle AHC` có :

`E` là trung điểm của `AH` (gt)

`F` là trung điểm của `HC` (gt)

`=>EF` là đường trung bình của `\triangle AHC`

`=>EF =1/2 AC=1/2 . 12=6cm`

`b,`

Xét `\triangle AHC` có :

`E` là trung điểm của `AH` (gt)

`K` là trung điểm của `AC` (gt)

`=>EK` là đường trung bình của `\triangle AHC`

`=>` $EK//HC$ và `EK=1/2 HC`

Có : `EK=1/2 KC` (cmt), `HF=1/2 HC` (gt) 

`=>EK=HF`

Tứ giác `HEKF` có :

`EK=HF` (cmt)

$EK//HF(EK//HC)$ (cmt)

`<=>HEKF` là hình bình hành

Mà `hat{EHF}=90^o` (gt)

`<=>HEKF` là hình chữ nhật

`c,`

`HEKF` là hình chữ nhật (cmt), `O` là giao của 2 đường chéo `HK,EF(2)` (gt)

`=>O` là trung điểm của `HK,EF`

`HEKF` là hình chữ nhật (cmt) `=>` $HE//KF$ hay $AH//KI$

Tứ giác `AHIK` có :

$HI//AK$ (gt)

$AH//KI$ (cmt)

`<=>AHIK` là hình bình hành nên `HK` cắt `AI` tại trung điểm mỗi đường

Mà `O` là trung điểm của `HK` (cmt)

`=>O` là trung điểm của `AI` hay `AI` đi qua `O(1)`

`(2)(1)=>HK,EK,AI` đồng quy tại `O`

`d,`

Nối `B` với `K`

`AHIK` là hình bình hành (cmt) `=>HI=AK`

Có : $HI=AK$ (cmt) $,AK=\dfrac{1}{2}AC$ (gt)

`=>HI = 1/2 AC`

Mà `EF=1/2 AC` (cmt)

`=>HI=EF`

Có : $EF//AC$ (cmt),$AC//HI$ (gt)

$⇒ HI//EF$

Tứ giác `EHIF` có : $HI=EF$ (cmt), $HI//EF$ (cmt)

`<=>EHIF` là hình bình hành `=>HE=IF` mà `HE=KF` (cmt)

`=>IF=KF` nên `BF` là đường trung tuyến của `\triangle BKI`

Có : $AH//KI$ (cmt) mà `AH⊥BC` (gt) nên `BF⊥KI=>BF` là đường cao của `\triangle BKI`

Kết hợp 2 điều kiện trên : `=> \triangle BKI` cân tại `B`

`=>BI=BK=>BI^2=BK^2`

`HEKF` là hình chữ nhật (cmt) `=>O` là trung điểm của `HK`

`\triangle AHC` vuông tại `H` có `HK` là đường trung tuyến (gt)

`=>HK=1/2 AC` mà `OH=1/2 HK` (cmt)

`=> 1/2 HK = 1/4 AC`

`=> OH = 1/4 AC = 1/4 . 2AK = 1/2 AK => AK=2OH`

`\triangle ABC` có : `K` là trung điểm của `AC` (gt), $MK//BC$ (cmt)

`=>M` là trung điểm của `AB` hay `HM` là đường trung tuyến của `\triangle BHA`

`\triangle BHA` có : `HM` là đường trung tuyến

`=>HM=1/2 AB =>AB=2HM`

`\triangle ABK` vuông tại `A` có :

`AB^2+AK^2=BK^2` (Pitago)

`=>4HM^2 + 4OH^2=BI^2`

`=> 4(HM^2 + OH^2)=BI^2`

`=> HM^2+OH^2=(BI^2)/4`