Đáp án + Giải thích các bước giải:

`a)` Vì `M` là trung điểm của `AB`

           `N` là trung điểm của `AC`

`-> MN` là đường trung bình của `ΔABC`

`-> MN` // `BC (đpcm)`

`-> MN = 1/2BC -> BC = 2MN -> BC = 2 . 5 =10cm`

`b)` Vì `ΔABC` cân tại `A`

`->` $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$

Vì `MN` // `BC`

`-> MNCB` là hình thang `(2` đáy song song)

Mà có $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$

`-> MNCB` là hình thang cân

`c)` Vì `E` đối xứng với `H` qua `M`

`-> M` là trung điểm của `EH`

Mà `M` là trung điểm của `AB`

`-> EH ∩ AB = {M}`

`-> AHBE` là hình bình hành `(1)` 

Vì `AH` lầ đường cao

`->` $\widehat{AHB}$ = `90^o (2)`

Từ `(1)` và `(2) -> AHBE` là hình chữ nhật

`d) AH` là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

`=> H` là trung điểm của `BC`

            `-> BH = HC`

      Mà `BH = EA -> EA = HC (3)`

            `-> B, H, C` thảng hàng

      Mà `BH` // `EA -> EA` //  `HC (4)`

Từ `(3)` và `(4) -> AEHC` là hinh bình hành

`a)`

Xét `ΔABC` có:

`AM=BM(g``t)`

`AN=CN(g``t)`

`⇒MN` là đường trung bình của `ΔABC`

`⇒MN////BC` và `MN=1/2BC`(tính chất đường trung bình của `Δ)`

Ta có:`MN=1/2BC(cmt)`

`⇒BC=2MN=2.5=10(cm)`

Vậy `BC=10cm`

`b)`

Vì `ΔABC` cân tại `A⇒hat{MBC}=hat{NCB}`(tính chất `Δ` cân)

Xét tứ giác `MNCB` có:

         `MN////BC(cmt)`

`⇒` tứ giác `MNCB` là hình thang(dấu hiệu nhận biết hình thang)

Mà `hat{MBC}=hat{NCB}(cmt)`

`⇒MNCB` là hình thang cân(hình thang có `2` góc kề `1` đáy bằng nhau là hình thang cân)(đpcm)

`c)`

Xét tứ giác `AHBE` có:

       `AM=BM(g``t)`

       `EM=HM(g``t)`

`⇒` tứ giác `AHBE` là hình bình hành(tứ giác có `2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành)

Mà `hat{AHB}=90^o`

`⇒AHBE` là hình chữ nhật(hình bình hành có `1` góc vuông là hình chữ nhật)

`d)`

Vì `AHBE` là hình chữ nhật

`⇒AE=BH` và `AE////BH`(tính chất hình chữ nhật)

Vì `AE////BH(cmt)`

Mà `C∈BH`

`⇒AE////CH(1)`

Vì `ΔABC` cân tại `A` có `AH` là đường cao

`⇒AH` đồng thời là đường trung tuyến của `ΔABC`

`⇒AH` là đường trung tuyến ứng với cạnh `BC`

`⇒H` là trung điểm của `BC`

`⇒BH=CH`

Mà `AE=BH(cmt)`

`⇒AE=CH(2)`

Xét tứ giác `AEHC` có:`(1)` và `(2)`

`⇒` tứ giác `AEHC` là hình bình hành(tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành)(đpcm)