`\text{a, Ta có: EI ⊥ AC} => \hat{AIE} = 90^0`

`+, \text{AE là tia phân giác của}   \hat{BAC}`

`=> \hat{A_1} = \hat{A_2}`

`\text{Xét ΔABE}  ( \hat{B} = 90^0 )   \text{và ΔAIE}   ( \hat{AIE} = 90^0 )   \text{có}`

`{:(\hat{A_1} = \hat{A_2} \text{(cmt)}),(\text{AE chung}):}}`

`=> ΔABE = AIE (ch-gn)`

`=> \text{AI = AB ( 2 cạnh tương ứng)}`

`+, \text{Ta có: AC = 2AB mà AI = AB (cmt)}`

`=> AC = 2AI`

`=> AI = (AC)/2`

`\text{mà I nằm giữa 2 điểm A và C}`

`=> \text{ I là trung điểm của AC}`

a) Xét $\triangle BAE$ và $\triangle IAE$ có:

$\begin{cases}\widehat{B}=\widehat{I}=90^\circ\\AE:\ \text{cạnh chung}\\\widehat{BAE}=\widehat{IAE}=\dfrac12\widehat{BAC}\end{cases}$

Do đó $\triangle BAE =\triangle IAE$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow AB = AI$  (hai cạnh tương ứng)

mà $AB =\dfrac12AC$

nên $AI =\dfrac12AC$

$\Rightarrow I$ là trung điểm $AC$

b) Xét $\triangle ABC$ vuông tại $B$ có:

$AC = 2AB$

$\Rightarrow ABC$ là nửa tam giác đều

$\Rightarrow \widehat{A}= 60^\circ;\ \widehat{C}= 30^\circ$