`c)` Ta có: `DH`//$AC$ (cùng $\perp AB$)

`=>\hat{MHD}=\hat{NCE}` (hai góc đồng vị) $(1)$

Vì $M;N$ lần lượt là trung điểm $BH; CH$

`=>DM;EN` lần lượt là trung tuyến hai tam giác vuông $∆BDH;∆ECH$

`=>DM=BM=MH={BH}/2; EN=CN={CH}/2`

`=>∆MDH;∆NEC` lần lượt cân tại $M;N$

`=>\hat{MDH}=\hat{MHD}`

`\qquad \hat{NEC}=\hat{NCE}`

$\\$

Vì `\hat{BMD}` là góc ngoài $∆MDH$

`=>\hat{BMD}=\hat{MDH}+\hat{MHD}=2\hat{MHD}` $(2)$

$\\$

`\qquad \hat{MNE}` là góc ngoài $∆NEC$

`=>\hat{MNE}=\hat{NEC}+\hat{NCE}=2\hat{NCE}` $(3)$

Từ `(1);(2);(3)=>\hat{BMD}=\hat{MNE}`

Mà `\hat{BMD};\hat{MNE}` ở vị trí đồng vị 

`=>DM`//$EN$

`=>DMNE` là hình thang (*)

$\\$

Vì $AD.AB=AE.AC$ (câu b)

`=>{AD}/{AC}={AE}/{AC}`

$\\$

Xét $∆AED$ và $∆ABC$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad {AD}/{AC}={AE}/{AB}`

`=>∆AED∽∆ABC` (c-g-c)

`=>\hat{AED}=\hat{ABC}=\hat{DBM}`

$\\$

Vì `DH`//$AC$

`=>\hat{AED}=\hat{EDH}` (hai góc so le trong)

$\\$

`=>\hat{DBM}=\hat{EDH}`

Vì $DM=BM$

`=>∆BDM` cân tại $M$

`=>\hat{BDM}=\hat{DBM}=\hat{EDH}`

$\\$

Ta có:

`\qquad \hat{BDM}+\hat{MDH}=\hat{BDH}=90°`

`=>\hat{EDH}+\hat{MDH}=90°`

`=>\hat{EDM}=90°` (**)

$\\$

Từ (*);(**)`=>DMNE` là hình thang vuông 

$\\$

`d)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HD\perp AB$

`=>BH^2=BD.AB`

$\\$

Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có $HE\perp AC$

`=>CH^2=CE.AC`

$\\$

Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ có $AH\perp BC$

`=>AB^2=BH.BC`

`=>AB^4=BH^2 . BC^2`

`\qquad AC^2=CH.BC`

`=>AC^4=CH^2 . BC^2`

$\\$

`=>{AB^4}/{AC^4}={BH^2 . BC}/{CH^2 .BC}`

`=>({AB}/{AC})^4={BH^2}/{CH^2}={BD.AB}/{CE.AC}`

`=>({AB}/{AC})^3 . {AB}/{AC}={BD}/{CE} . {AB}/{AC}`

`=>({AB}/{AC})^3={BD}/{CE}`

Vậy `{BD}/{CE}=({AB}/{AC})^3`

$\\$

`e)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ có $AH\perp BC$

`=>AB.AC=AH.BC`

`\qquad AH^2=BH.CH`

`=>AH^4=BH^2 . CH^2=BD.AB.CE.AC`

`=>AH^4=(AB.AC).BD.CE`

`=>AH.AH^3 =AH.BC.BD.CE`

`=>AH^3=BC.BD.CE`

Vậy `BC.BD.CE=AH^3`