Bài IV.

a)

Có $\widehat{SAB}=\widehat{CAM}$ (cùng phụ $\widehat{BAM}$)

Mà: $\widehat{CAM}=\widehat{SCA}$ ($\Delta MAC$ cân tại $M$)

$\Rightarrow \widehat{SAB}=\widehat{SCA}$

$\Rightarrow \Delta SAB\backsim\Delta SCA\left( g.g \right)$

$\Rightarrow S{{A}^{2}}=SB.SC$

Mà $S{{A}^{2}}=SH.SM$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow SB.SC=SH.SM$

b)

Ta chứng minh được vài ý như sau:

$MA=MB=MC=MK=MN$ và $BC\bot KN$ tại $M$

$\Rightarrow M{{A}^{2}}=MK.MN$

Mà $M{{A}^{2}}=MH.MS$  (hệ thức lượng)

$\Rightarrow MK.MN=MH.MS$

$\Rightarrow \Delta MKH\backsim\Delta MSN\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{MKH}=\widehat{MSN}$

Mà: $\widehat{MSN}+\widehat{MNS}=90{}^\circ $

Nên: $\widehat{MKH}+\widehat{MNS}=90{}^\circ $

Điều này chứng tỏ $KH\bot SN$

c)

Chứng minh: $\dfrac{1}{D{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{2}{D{{A}^{2}}}$

Vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$  tại $D$ cắt $AC$ tại $I$

Do $MA=MN=MK$ nên $\Delta AKN$ vuông tại $A$

Tức là $\Delta KMD\backsim\Delta KAN\left( g.g \right)$

$\Rightarrow KD.KA=KM.KN$

Mà $K{{B}^{2}}=BM.BC$ (hệ thức lượng)

Cũng tức là $K{{B}^{2}}=KM.KN$

$\Rightarrow K{{B}^{2}}=KD.KA$

$\Rightarrow \Delta KBD\backsim\Delta KAB\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{KBD}=\widehat{KAB}=45{}^\circ $

$\Rightarrow AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow AEDF$ là hình vuông

$\Rightarrow DE=DF$ và $DF=\dfrac{DA}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \Delta DEB=\Delta DFI$ (cgv-gn)

$\Rightarrow DB=DI$

Theo hệ thức lượng:

Có: $\dfrac{1}{D{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{F}^{2}}}$

Thay $DI=DB$ và $DF=\dfrac{DA}{\sqrt{2}}$

Vậy: $\dfrac{1}{D{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{2}{D{{A}^{2}}}$

Chứng minh: $S,E,F$ thẳng hàng

Do $AEDF$ là hình vuông

Nên $EF$ và đường trung trực của $AD$

Có: $\begin{cases}\widehat{SAD}=\widehat{SAB}+\widehat{BAD}\\\widehat{SDA}=\widehat{SCA}+\widehat{CAD}\end{cases}$

Mà: $\widehat{SAB}=\widehat{SCA}\,\,;\,\,\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$

Nên: $\widehat{SAD}=\widehat{SDA}$

$\Rightarrow SA=SD$

$\Rightarrow S\in $ đường trung trực của $AD$

$\Rightarrow S,E,F$ thẳng hàng

Bài V.

Với $P=\sqrt{4a+1}+\sqrt{5b+1}$

$\Rightarrow {{P}^{2}}=\left( 4a+1 \right)+\left( 5b+1 \right)+2\sqrt{\left( 4a+1 \right)\left( 5b+1 \right)}$

$\Rightarrow {{P}^{2}}=\left( 4a+1 \right)+\left( 5b+1 \right)+2\sqrt{20ab+4a+5b+1}$

$\Rightarrow {{P}^{2}}=4\left( a+b \right)+b+2+2\sqrt{20ab+4\left( a+b \right)+b+1}$

$\Rightarrow {{P}^{2}}=4.2+b+2+2\sqrt{20ab+4.2+b+1}$

$\Rightarrow {{P}^{2}}=b+10+2\sqrt{20ab+b+9}$

Do $b\ge 0$

Nên ${{P}^{2}}\ge 0+10+2\sqrt{20.a.0+0+9}$

$\Rightarrow {{P}^{2}}\ge 16$

$\Rightarrow P\ge 4$

$\Rightarrow {{P}_{\min }}=4$

Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}a=2\\b=0\end{cases}$