`a)` Vẽ $OE\perp CD$ tại $E$

Gọi $N$ là giao điểm của $DO$ và $CA$

Xét $∆OAN$ và $∆OBD$ có:

`\qquad \hat{OAN}=\hat{OBD}=90°`

`\qquad OA=OB={AB}/2`

`\qquad \hat{AON}=\hat{BOD}` (hai góc đối đỉnh)

`=>∆OAN=∆OBD` (g-c-g)

`=>AN=BD; ON=OD`

Mà `N;O;D` thẳng hàng 

`=>O` là trung điểm $ND$ $(1)$

$\\$

Vì `AC+BD=CD` (gt)

`=>AC+AN=CD` (do $AN=BD$)

`=>CN=CD`

`=>∆CDN` cân tại $C$ $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>CO` đồng thời là đường trung tuyến và phân giác $∆CDN$

`=>\hat{ACO}=\hat{ECO}`

$\\$

Xét $∆OAC$ và $∆OEC$ có

`\qquad \hat{OAC}=\hat{OEC}=90°`

`\qquad OC` chung

`\qquad \hat{ACO}=\hat{ECO}` 

`=>∆OAC=∆OEC` (cạnh huyền -góc nhọn)

`=>OA=OE`

Vì $CD\perp OE$ (cách vẽ) và `OE=OA={AB}/2`

`=>CD` tiếp xúc với nửa đường tròn `(O)` tại `E`

$\\$

`b)` Ta có $AC;EC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $C$ `(A;E` là hai tiếp điểm)

`=>AC=EC`

Mà `OA=OE`

`=>OC` là trung trực của `AE`

`=>OC`$\perp AE$ $(3)$

$\\$

Xét $∆ABE$ có $EO$ là trung tuyến (do `O` là trung điểm $AB$)

Vì `OE=OA=1/ 2 AB`

`=>∆ABE` vuông tại $E$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)

`=>EB`$\perp AE$ $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)=>EB`//$AO$

`=>\hat{EB F}=\hat{COA}` (hai góc đồng vị)

$\\$

Xét $∆B FE$ và $∆OAC$ có:

`\qquad \hat{BFE}=\hat{OAC}=90°`

`\qquad \hat{EB F}=\hat{COA}`

`=>∆BFE∽∆OAC` (g-g)

`=>{FE }/{AC}={BF}/{OA}` 

`=>AC.BF=OA.FE` $(5)$

$\\$

Xét $∆ABC$ có $FI$//$AC$ (cùng $\perp AB$)

`=>{FI}/{AC}={BF}/{AB}` (hệ quả định lý Talet) 

`=>AC.BF=AB.FI` $(6)$

$\\$

Từ `(5);(6)=>OA.F E=AB.FI`

`=>OA.FE=2OA.FI` (vì $AB=2OA$)

`=>FE=2FI`

`=>FE-FI=2FI-FI`

`=>E F=FI`

Mà `E;I;F` thẳng hàng 

`=>I` là trung điểm $E F$ (đpcm)