`1)` Ta có:

`\hat{MEC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>CE`$\perp MK$ tại `E`

`=>\hat{CEK}=90°`

$\\$

Xét tứ giác `CEKB` có:

`\hat{CEK}+\hat{CBK}=90°+90°=180°`

Mà hai góc `\hat{CEK};\hat{CBK}` ở vị trí đối diện

`=>CEKB` là tứ giác nội tiếp (đpcm)

$\\$

`2)` Ta có:

`\hat{ACM}+\hat{BCK}+\hat{MCK}=180°`

`=>\hat{ACM}+\hat{BCK}=180°-\hat{MCK}=180°-90°=90°` $(1)$

$\\$

Xét $∆ACM$ vuông tại $A$

`=>\hat{ACM}+\hat{AMC}=90°` (hai góc phụ nhau) `(2)`

Từ `(1);(2)=>\hat{AMC}=\hat{BCK}`

$\\$

Xét $∆AMC$ và $∆BCK$ có:

`\qquad \hat{AMC}=\hat{BCK}`

`\qquad \hat{CAM}=\hat{KBC}=90°`

`=>∆AMC∽∆BCK` (g-g)

`=>{AM}/{BC}={AC}/{BK}`

`=>AM.BK=AC.BC` (đpcm)

$\\$

`3)` Xét tứ giác $AMEC$ có:

`\hat{MAC}+\hat{MKC}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{MAC};\hat{MKC}` ở vị trí đối diện nhau

`=>AMEC` nội tiếp

`=>\hat{AEC}=\hat{AMC}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AC)$

Mà `\hat{AMC}=\hat{BCK}` (câu 2)

`=>\hat{AEC}=\hat{BCK}` $(3)$

$\\$

Vì $CEKB$ nội tiếp (câu 1)

`=>\hat{CEB}=\hat{CKB}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CB$) $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)`

`=>\hat{AEC}+\hat{CEB}`

`=\hat{BCK}+\hat{CKB}=90°` (vì $∆BCK$ vuông tại $B$)

`=>\hat{AEB}=90°`

`=>∆AEB` vuông tại `E` (đpcm)