$\\$

Đáp án + giải thích các bước giải :

`a,`

Xét `\triangle ADB` và `\triangle ADC` có : $\begin{cases} AB=AC (gt)\\\text{AD chung}\\BD=CD(gt) \end{cases}$

`=> \triangle ADB=\triangle ADC` (cạnh - cạnh - cạnh)

`=> hat{DAB}=hat{DAC}` (2 góc tương ứng)

Hay `AD` là tia phân giác của `hat{BAC}`

`b,`

`\triangle ΔADB=\triangle ADC` (cmt)

`=>hat{ADB}=hat{ADC}` (2 góc tương ứng)

Mà `hat{ADB}+hat{ADC]=180^o` (2 góc kề bù)

`=>hat{ADB}=hat{ADC}=180^o/2=90^o`

Hay `AD⊥BC`

`c,`

`AM=AN` (gt) `=>A` nằm trên đường trung trực của `MN(1)`

Xét `\triangle AMD` và `\triangle AND` có : $\begin{cases} AM=AN(gt)\\\widehat{MAD}=\widehat{NAD}(\widehat{DAB}=\widehat{DAC})\\\text{AD chung} \end{cases}$

`=> \triangle AMD=\triangle AND` (cạnh - góc - cạnh)

`=>MD=DN` (2 cạnh tương ứng)

`=>D` nằm trên đường trung trực của `MN(2)`

Từ `(1)(2)`

`=>AD` là đường trung trực của `MN`

`=> AD⊥MN`

`d,`

Có : $\begin{cases} AD⊥BC(cmt)\\AD⊥MN(cmt) \end{cases}$

$⇒ MN//BC(3)$

Xét `\triangle BOD` và `\triangle MOP` có : $\begin{cases} OB=OM(gt)\\OD=OP(gt)\\\widehat{BOD}=\widehat{MOP}\text{(2 góc đối đỉnh)} \end{cases}$

`=> \triangle BOD=\triangle MOP` (cạnh - góc - cạnh)

`=> hat{OMP}=hat{OBD}` (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$⇒ PM//BD$ hay $PM//BC(4)$

Từ $(3)(4)⇒MN≡PM$

`=> P,M,N` thẳng hàng