a) Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle ABH$ vuông tại H có:

    `AB^2 = AH^2 + BH^2`

`=> AB^2 = 8^2 + 6^2 = 100`

`=> AB = \sqrt100 = 10` (cm)

Xét $\triangle ABH$ vuông tại H, đường cao HE có:

    `AH^2 = AE . AB`  (1)

`=> 8^2 = AE . 10`     `=> AE = 6,4` (cm)

Xét $\triangle ABC$ vuông tại A, đường cao AH có:

    `1/(AH^2)=1/(AB^2)+1/(AC^2)`

`=> 1/8^2=1/10^2+1/(AC^2)`

`=> 1/(AC^2)=9/1600`

`=> AC^2 = 1600/9`

`=> AC = 40/3` (cm)

Vậy `AE = 6,4` cm; `AC = 40/3` cm

b) Xét $\triangle AHC$ vuông tại H, đường cao HF có:

       `AH^2 = AF . AC`    (2)

Từ (1) và (2) `=> AE . AB = AF.AC`

`=> (AB)/(AC) = (AF)/(AE)`

c) Xét $\triangle AHN$ có: $\begin{cases} BI//AN\\AI=HI\end{cases}$ `=> BN = BH`

$\triangle ABC$ vuông tại A, đường cao AH: `AB^2 = BH.BC`

$BM//AN$ `=> (AM)/(MC) = (BN)/(BC)` (ĐL Ta-let)

có: `cosB=(AB)/(BC)`

`=>cos^2B=(AB^2)/(BC^2)=(BH.BC)/(BC^2)=(BH)/(BC)=(BN)/(BC)`

mà `(BN)/(BC) = (AM)/(MC)`

`=> cos^2B=(AM)/(MC)` (đpcm)

còn gì ko biết hỏi mình