Giải thích các bước giải:

Bài `3.` ( hình `1`)
`a)`
Ta có:
`ABCD` là hình chữ nhật có `O` là giao điểm của hai đường chéo `AC` và `BD`
`=>O` là trung điểm của `AC`
`E` đối xứng với `A` qua `M(text{gt})`
`=>M` là trung điểm của `AE`
Xét `ΔACE` ta có:
`M` là trung điểm của `AE`
`O` là trung điểm của `AC`
`=>MO` là đường trung bình của `ΔACE`
`=>MO ////CE`
Xét tứ giác `OMEC` ta có:
`MO ////CE(cmt)`
`=>` Tứ giác `OMEC` là hình thang `(text{ĐPCM})`
`b)`
Ta có:
`MO ////CE(text{theo phần a})` hay `OD////IC`
`=>hat{ODC}+hat{DCI}=180^o`
`=>hat{ODC}=180^o - hat{DCI}(1)`
Lại có:
`hat{DCI}+hat{ICF}=180^o(text{hai góc kề bù})`
`=>hat{ICF}=180^o-hat{DCI}(2)`
Từ `1` và `2`
`=>hat{ODC}=hat{ICF}`
Ta có:
`H` là hình chiếu của `E` trên `BC(text{gt})`
`=>HEbotBC`
`=>hat{EHC}=90^o`
Tứ giác `ABCD` là hình chữ nhật
`=>hat{BCD}=90^o`
Lại có:
`hat{BCD}+hat{HCF}=180^o(text{hai góc kề bù})`
`=>90^o + hat{HCF}=180^o`
`=>hat{HCF}=180^o - 90^o = 90^o`
`F` là chân đường vuông góc của `E` trên `DC(text{gt})`
`=>EFbotDC` hay `EFbotCF`
`=>hat{EFC}=90^o`
Xét tứ giác `EFCH` ta có:
`hat{EFC}=hat{EHC}=hat{HCF}=90^o`
`=>` Tứ giác `EFCH` là hình chữ nhật
`=>` Hai đường chéo `HF` và `EC` bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà `I` là giao điểm của `CE` và `HF`
`=>I` là trung điểm của `CE` và `HF`
Có:
`HF=EC(text{cmt})`
`=>(HF)/2=(EC)/2`
`=>IF=IC`
Xét `ΔIFC` ta có:
`IF=IC`
`=>ΔIFC` là tam giác cân tại `I`
`=>hat{ICF}=hat{IFC}`
Mà `hat{ODC}=hat{ICF}(cmt)`
`=>hat{IFC}=hat{ODC}`
Trong hình chữ nhật `ABCD` có `O` là giao điểm của hai đường chéo `AC` và `BD`
`=>O` là trung điểm của `AC` và `BD` ; `AC=BC`
`=>(AC)/2=(BC)/2`
`=>OC=OD`
Xét `ΔOCD` ta có:
`OC=OD`
`=>ΔOCD` là tam giác cân tại `O`
`=>hat{ODC}=hat{OCD}` mà `hat{IFC}=hat{ODC}`
`=>hat{IFC}=hat{OCD}`
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
`=>IF////OC` hay `IF////AC(text{ĐPCM})`
`c)`
Ta có:
`I` là trung điểm của `CE(text{theo phần b})`
`=>IC=1/2CE(3)`
Có:
`MO` là đường trung bình của `ΔACE`
`=>MO=1/2CE(4)`
`MO ////EC` hay `MO ////IC`
Từ `3` và `4`
`=>IC=MO`
Xét tứ giác `MICO` ta có:
`MO ////IC(cmt),MO=IC(cmt)`
`=>` Tứ giác `MICO` là hình bình hành
`=>MI////CO` mà `IF////OC(text{theo phần b})`
`=>MI` và `IF` tạo thành một đoạn thẳng có điểm `I` chung
`=>M;I;F` thẳng hàng mà có `I` là trung điểm của `HF`
`=>I` thuộc đoạn thẳng `HF`
`=>H;I;F` thẳng hàng mà `M;I;F` thẳng hàng
`=>M;H;I;F` thẳng hàng `(text{ĐPCM})`

Bài `4.` ( hình `2`)
`a)`
Ta có:
`ABCD` là hình chữ nhật
`=>AD=CB;AD////CB`
`=>hat{ADB}=hat{CBD}(text{hai góc so le trong})`
Hay `hat{ADN}=hat{CBM}`
`CMbotBD(text{gt})`
`=>hat{CMB}=90^o;hat{CMN}=90^o`
`ANbotBD(text{gt})`
`=>hat{AND}=90^o;hat{ANM}=90^o`
Xét `ΔAND(hat{AND}=90^o)` và `ΔCMB(hat{CMB}=90^o)` ta có:
`{:(text{AD=CB(cmt)}),(hat{ADN}=hat{CBM}(cmt)):}}=>ΔAND=ΔCMB(text{cạnh huyền - góc nhọn})`
`=>DN=BM(text{hai cạnh tương ứng})`
`=>DN+NM=BM+MN`
`=>DM=BN`
Hay
`BN=DM(text{ĐPCM})`
`b)`
Ta có:
`ΔAND=ΔCMB(text{theo phần a})`
`=>AN=CM(text{hai cạnh tương ứng})`
Lại có:
`hat{ANM}=hat{CMN}=90^o`
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
`=>AN////CM`
Xét tứ giác `AMCN` ta có:
`AN////CM(cmt);AN=CM(cmt)`
`=>` Tứ giác `AMCN` là hình bình hành `(text{ĐPCM})`
`c)`
Ta có:
`hat{CMB}=90^o`
`=>ΔMBC` là tam giác vuông tại `M`
Có:
`I` là trung điểm của cạnh huyền `BC`
`=>MI` là đường trung tuyến của `ΔMBC` vuông tại `M`
Mà `MI` là đường trung tuyến tương ứng với cạnh huyền `BC`
`=>MI=(BC)/2=IC`
`=>MI=IC(1)`
Ta có:
`BxbotBD` hay `BKbotBD`
`=>hat{MBK}=90^o`
`=>ΔMBK` là tam giác vuông tại `B`
Có :`I` là trung điểm của cạnh huyền `BC`
`=>BI` là đường trung tuyến của `ΔMBK` vuông tại `B`
Mà `BI` là đường trung tuyến tương ứng với cạnh huyền `BC`
`=>BI=(MK)/2=IK` mà `BI=IC(I` là trung điểm của `BC`)
`IC=IK(2)`
Từ `1` và `2`
`=>MI=IK`
`=>I` là trung điểm của `MK`
Xét tứ giác `BMCK` ta có:
Hai đường chéo `MK` và `BC` cắt nhau tại trung điểm `I` của mỗi đường
`=>` Tứ giác `BMCK` là hình bình hành mà có `hat{MBK}=90^o`
`=>` Tứ giá `BMCK` là hình chữ nhật `(text{ĐPCM})`
`d)`
Ta có:
Tứ giác `AMCN` là hình bình hành `(text{theo phần b})`
`=>AN////CM;AN=CM` hay `NE////CM`
`E` đối xứng với `A` qua `N`
`=>N` là trung điểm của `AE`
`=>AN=NE` mà `AN=CM(cmt)`
`=>NE=CM`
Xét tứ giác `NMCE` ta có:
`NE////CM(cmt);NE=CM(cmt)`
`=>` Tứ giác `NMCE` là hình bình hành
`=>NM////CE` hay `CE////BD`
Xét tứ giác `BDEC` ta có:
`CE////BD`
`=>` Tứ giác `BDEC` là hình thang
Nối `BE`
`ANbotBD(text{gt})` hay `AEbotBD`
`=>hat{BNE}=90^o;hat{BNA}=90^o`
Xét `ΔANB` và `ΔENB` ta có:
`{:(text{AN=EN(gt)}),(hat{BNA}=hat{BNE}=90^o),(text{BN:cạnh chung}):}}=>ΔANB=ΔENB(c-g-c)`
`=>BE=AB(text{hai cạnh tương ứng})`
Mà `AB=DC(ABCD` là hình chữ nhật )
`=>BE=DC`
Ta có:
Hình thang `BDEC` có hai đường chéo `BE=DC`
`=>` Hình thang `BDEC` là hình thang cân `(text{ĐPCM})`
`e)`
Ta có:
`AMCN` là hình bình hành `(text{theo phần b})`
`=>AM////CN` hay `MP////NC`
`NMCE` là hình bình hành `(text{theo phần d})`
`=>NM////CE` hay `NM////CP`
Xét tứ giác `MPCN` ta có:
`MP////NC(cmt);NM////CP(cmt)`
`=>` Tứ giác `MPCN` là hình bình hành
`=>MP=NC` mà `NC=AM(AMCN` là hình bình hành)
`=>MP=AM`
`=>M` là trung điểm của `AP`
`=>EM` là đường trung tuyến của `ΔAPE`
`MPCN` là hình bình hành
`=>MN=PC` mà `MN=CE(NMCE` là hình bình hành)
`=>CE=PC`
`=>C` là trung điểm của `PE`
`=>AC` là đường trung tuyến của `ΔAPE`
`N` là trung điểm của `AE(text{gt})`
`=>PN` là đường trung tuyến của `ΔAPE`
Trong `ΔAPE` có:
`PN` là đường trung tuyến của `ΔAPE`
`AC` là đường trung tuyến của `ΔAPE`
`EM` là đường trung tuyến của `ΔAPE`
`=>AC;EM;PN` đồng quy tại một điểm và điểm này gọi là trọng tâm của `ΔAPE(text{ĐPCM})`